1. Strona główna
  2. Baza wiedzy

Baza wiedzy

Zbiór informacji z matematyki oraz fizyki przygotowany przez Szkołę Maturzystów

Znaczenie współczynników we wzorze funkcji liniowej.

Zobacz jak zmienia się wykres funkcji w zależności od współczynnika a w funkcji f(x)=ax:

a>0                                                                                   
 

 



a<0
                                                

 
 

 
a=0





Jak widać, jeżeli a>0, to prosta tworzy z osią OX kąt ostry, gdy a<0 jest to kąt rozwarty, a=0 da nam kąt zerowy. Jak łatwo zauważyć współczynnik kierunkowy a jest powiązany z kątem nachylenia do osi OX, dlatego też jest nazywany współczynnikiem kątowym. Korzystając z definicji tangensa możemy obliczyć a, wystarczy wziąć dowolny punkt P(x1,y1) różny od punktu (0,0) i podłożyć do wzoru:

Tgα= y1/ x1


 
 

jeżeli funkcja ma wzór f(x)=ax, to wzór może wyglądać tak: tgα= ax1/x1=a

 

Twierdzenie 1:
Prosta będąca wykresem funkcji liniowej y=ax jest nachylona do osi OX pod takim kątem α, że tgα=a

 

Przykład 1

Pod jakim kątem jest na nachylony wykres funkcji przechodzący przez punkt (0,0) o wzorze:

f(x)= - √3/3

Wiemy z twierdzenia 1 że tgα=a, czyli tgα= - √3/3=a

z własności tangensa wiemy że, tg30=√3/3, wiemy też że –tgα=tg(180-α),

to daje nam - √3/3=–tgα= tg(180-30)=tg150

Odpowiedź: Kąt nachylenia to 150 stopni.

 

 

 

Twierdzenie 2: Wykresem funkcji liniowej y=ax+b, gdzie x należy do R, jest prosta nachylona do osi OX pod takim kątem α, że tg α=a.

To twierdzenie jest bardzo podobne do twierdzenia 1, różnicą jest że poprzedni wykres funkcji przechodził przez początek układu współrzędnych. Poznałeś kilka sposobów na obliczenie współczynnika kierunkowego a, oto kolejny, rozważmy dowolną funkcje np.: f(x)=2x+2, i zaznaczmy na niej 2 dowolne punkty.



 
 
 
Taki trójkąt ABC, jest trójkątem prostokątnym, korzystając z definicji tangensa możemy wyznaczyć że tgα (alfa, w tym przypadku kąt przy wierzchołku A, jest taki sam jak kąt pomiędzy prostą a osią OX), jest równy:

Tgα= |BC|/|AC|= (y2-y1)/(x2-x1), czyli poznaliśmy kolejny sposób na wyliczenie a.

Twierdzenie 3: Jeśli 2 różne punkty A(x1,y1) i B(x2,y2) należą do wykresu funkcji liniowej y=ax+b, to
a=(y2-y1)/(x2-x1)

Przykład 2

Punkty A(-27,30) i B(21,-15) należą do wykresu funkcji liniowej, oblicz kąt nachylenia wykresu do osi OX, skorzystaj z tablic matematycznych.

Korzystając z trzeciego twierdzenia mamy:

a=(-15-30)/(21+27)=-45/48=-0,9375(tg ujemny oznacza, że kąt nachylenia do osi OX jest rozwarty)

Teraz sprawdzając w tablicach, widzimy że α=~(180-43)=137, czyli wykres funkcji jest nachylony pod kątem 137 stopni do osi OX.


Zadania do zrobienia


1. Podaj kąt nachylenia wykresu funkcji liniowej do osi OX, jeśli:

a)

b)  

Odp.      a)     b)


2. Napisz wzór funkcji liniowej, której wykres jest nachylony do osi  pod kątem  i przechodzi przez punkt , jeśli:

a)  =              A (2, 7)

b)  =           A

Odp.      a)      b)


 

3. Napisz wzór funkcji liniowej, której wykres jest nachylony do osi  pod kątem  i przechodzi przez punkt , jeśli  =  oraz  

Odp. x  lub


4. Do wykresu funkcji liniowej należą punkty  i . Wyznacz - z dokładnością do  - kąt  nachylenia wykresu funkcji f do osi , jeśli


Odp.   


 

5. Do wykresu funkcji liniowej  należą punkty i , natomiast do wykresu funkcji liniowej  należą punkty  i  Czy wykresy funkcji i  są równoległe, jeśli:  , , ,

Odp. tak