1. Strona główna
  2. Baza wiedzy

Baza wiedzy

Zbiór informacji z matematyki oraz fizyki przygotowany przez Szkołę Maturzystów

Równanie liniowe i nierówność liniowa z jedną niewiadomą

Definicja 1: Równaniem liniowym z jedną niewiadomą x nazywamy równanie mające postać ax+b=0, gdzie a,b są ustalonymi liczbami rzeczywistymi. Rozwiązanie równania liczymy tak samo jak miejsce zerowe funkcji liniowej:
-Ma tylko jedno rozwiązanie –b/a, jeżeli a≠0
-Jest równaniem tożsamościowym (każda liczba rzeczywista jest rozwiązaniem) wtedy, gdy a=0 i b=0
-Jest sprzeczne (brak rozwiązania), jeśli a=0 b≠0

Przykład 1

Zbadamy istnienie i ilość rozwiązań równania 2mx+g=x-3 w zależności od parametrów m oraz g, m należy do R, g należy do R


Najlepiej zacząć od przerzucenia wszystkiego na lewą stronę:

2mx+g-x+3=0,  teraz by doprowadzić do postaci ax+b, wyciągnijmy x przed nawias:   (2m-1)x+g+3=0, naszym a jest (2m-1) a b (g+3), teraz korzystając z tekstu powyżej możemy obliczyć, że współczynnik przy x jest równy zero wtedy gdy:

2m-1=0

2m=1

m=0,5, czyli jeżeli m należy do R/{0,5} to współczynnik x jest różny od zera

Jeśli m należy do R/{0,5}, to równanie liniowe ma tylko jedno rozwiązanie równe –g-3/2m-1

Jeśli m=0,5, to równanie przyjmuje postać g+3=0, jeśli:

g=-3 to równanie jest tożsamościowe

g≠-3 to równanie jest sprzeczne.

Zawsze przy tego typu zadaniach postaraj się doprowadzić równanie do postaci ax+b=0

 

Definicja 2: Nierównością liniową z jedną niewiadomą x nazywamy nierówność mającą postać: ax+b>0 lub ax+b<0 lub ax+b≥ lub ax+b≤0, gdzie a i b są ustalonymi liczbami rzeczywistymi

Rozwiązując nierówność liniową odpowiadamy, dla jakich argumentów x funkcja przyjmuje wartości ujemne lub dodatnie.

Przykład 2

Wyznaczmy wszystkie wartości parametru m, dla których zbiorem rozwiązań nierówności liniowej (4-m2)x-1+m<0 jest zbiór liczb rzeczywistych.

Wyznaczmy wartości parametru n, dla których zbiorem rozwiązań nierówności liniowej 2n2-4n-3nx≤0 jest przedział (-∞, -6>

 

Skoro zbiorem rozwiązań jest R, to znaczy ze funkcja musi zawsze przyjmować wartości ujemne, muszą być spełnione 2 warunki:

-współczynnik przy x jest równy 0

-b jest mniejsze od 0

Pierwszy warunek wygląda tak:

4-m2=0

m2=4

m=2 lub m=-2 ( dla takich m pierwszy warunek będzie spełniony)

Drugi warunek:

-1+m<0

m<1

Teraz mamy koniunkcję warunków a dokładniej:

(m=2 lub m=-2) i m<1

Wyznaczamy z tego część wspólną, m=2 nie spełnia warunku m<1, więc jedynym rozwiązaniem jest m=-2, i to jest odpowiedź

 

Wiemy że funkcja przyjmuje wartości nieujemne w przedziale (-∞, 6>, a to znaczy że funkcja musi być rosnąca, w taki razie współczynnik przy x musi być większy od zera:

-3n>0

n<0, mamy pierwszy warunek.

Wiemy również że miejscem zerowym tej funkcji jest x=6, czyli inaczej f(6)=0, czyli:

2n2-4n+18n=0

2n2+14n=0 (wyciągamy n przed nawias, NIE DZIELIMY PRZEZ N!!)

n(2n+14)=0

czyli n=0 lub  2n+14=0

                          n+7=0

                          n=-7

Tylko n=-7 spełnia pierwszy warunek więc to będzie nasza odpowiedź.


Zadania do zrobienia


1. Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których równanie z niewiadomą ma jedno rozwiązanie. Wyznacz to rozwiązanie.

a)

b)

Odp.      a)        b)


 

2. Dane jest równanie z niewiadomą . Przedyskutuj liczbę rozwiązań równania ze względu na wartość parametru. Wtedy, gdy istnieje jedno rozwiązanie - wyznacz je.

a) (4 - )x = m + 2

b)

Odp.      a) jeśli , to równanie ma jedno rozwiązanie x = ; jeśli , to równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań (każda liczba rzeczywista jest rozwiązaniem równania); jeśli , to równanie nie ma rozwiązań

b) jeśli , to równanie ma jedno rozwiązanie x = ; jeśli  to równanie nie ma rozwiązań


 

3. Wyznacz wartości parametru k, dla których zbiór rozwiązań nierówności

a) jest przedziałem )

b) zawiera się w przedziale  +)

Odp.      a)

b)