Wartość bezwzględną można określić jako odległość, jak wiesz nie ma czegoś takiego jak odległość ujemna, na przykład na osi liczbowej punkt -2 jest tak samo oddalony od 0 jak punkt 2.

Przykład 1

Rozwiąż równanie: |5x+3|=8.

W takim przypadku zawsze trzeba rozwiązać równanie w 2 przypadkach:

              5x+3=8                lub               5x+3=-8

              5x=5                    lub               5x=-11

               x=5                     lub                 x=-11/5

Czyli równanie ma dwa rozwiązania, 5 oraz -11/5.

Jeżeli mamy równanie z wartością bezwzględną to zawsze używamy alternatywy (lub, ∨).

Przykład 2

 a) Rozwiąż równanie 4|x-3|=3|5+x|-5

b) Rozwiąż nierówność  |-x+2|+5< 2|x-4|+3

 a)

Przykład a musimy rozpatrzeć w trzech przedziałach, aby je wyznaczyć, najłatwiej jest potraktować wyrażenia w wartościach bezwzględnych jako wzór funkcji i narysować poglądowy rysunek (nie musi być dokładny, ma przede wszystkim pomóc w ustaleniu przedziałów)

Rysunek do najpiękniejszych nie należy ale dzięki niemu mamy nasze przedziały:

(-∞,-5>  (-5,3>  (3, +∞)

Taki rysunek otrzymaliśmy obliczając miejsca zerowe funkcji, gdyby przed x była liczba ujemna to narysowalibyśmy funkcje malejącą)
Rozpatrujemy równanie w pierwszym przedziale: (-∞,-5>

Jeżeli na naszym obrazku   wykres w tym przedziale znajduje się pod osią OX, to zmieniamy znak, w przeciwnym razie zostawiamy tak jak jest.

4(-x+3)=3(-5-x)-5

-4x+12=-15-3x-5 ( przerzucamy x na jedną stronę, resztę na drugą)

-x=-32

x=32

Teraz musimy sprawdzić czy 32 należy do przedziału w którym rozpatrywaliśmy nasze równanie, jak widać nie należy, więc 32 nie jest rozwiązaniem tego równania.

Rozpatrujemy równanie w drugim przedziale:  (-5,3>

4(-x+3)=3(5+x)-5

-4x+12=15 +3x-5

-7x=-2

x=2/7

2/7 należy do przedziału w którym rozpatrywaliśmy równanie, więc jest jego rozwiązaniem.

Rozpatrujemy równanie w trzecim przedziale: (3, +∞)

4(x-3)=3(5+x)-5

4x-12=15+3x-5

x=22

22 należy do przedziału, więc też jest rozwiązaniem.

Odpowiedź: Rozwiązaniem równania są 2/7 lub 22.

b)

Tak jak we wcześniejszym przykładzie rysujemy wykres pomocniczy:


  

Rozpatrujemy nierówność w pierwszym przedziale: (-∞,2>.

-x+2+5<2(-x+4)+3

-x+7<-2x+11

x<4, częścią wspólną tych dwóch przedziałów jest (-∞,2>.

Rozpatrujemy nierówność w drugim przedziale: (2,4>

x-2+5<2(-x+4)+3

x+3<-2x+11

3x<8

x<8/3, częścią wspólną będzie przedział (2, 8/3>

Rozpatrujemy nierówność w trzecim przedziale: (4,+ ∞),

x-2+5<2x-5

-x<-8

x>8, częścią wspólną będzie przedział <8,+∞)

Odpowiedź: Zbiorem rozwiązań nierówności są przedziały (-∞,2> w sumie z przedziałem (2, 8/3> w sumie z przedziałem  <8,+∞)

Zadania do zrobienia