Układy równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi.

Definicja 1: Układem dwóch równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi x i y nazywamy koniunkcję takich równań i oznaczamy:

{a1x + b1y=c1
{a2x+b2y=c2
Gdzie a12+b12>0 i a22+b22>0

Definicja 2: Rozwiązaniem układu dwóch równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi nazywamy każdą parę liczb (x,y), która spełnia jednocześnie oba równania układu. Rozwiązać układ równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi to wyznaczyć wszystkie jego rozwiązania, albo stwierdzić , że zbiór rozwiązań jest pusty.

Jeżeli mamy układ dwóch równań, które mają postać wzoru funkcji liniowej, to rozwiązać go znaczy po prostu znalezienie punktu wspólnego wykresów obu funkcji, w przypadku równania pierwszego stopnia takie rozwiązanie może być jedno, czyli wykresy przecinają się w wspólnym punkcie, nieskończenie wiele, czyli wykresy nachodzą na siebie, lub mogą nie mieć rozwiązania, czyli wykresy nigdy się nie spotykają.

Na powyższym wykresie dwie proste przecinają się w jednym punkcie, współrzędne tego punktu (x, y) są jedynym rozwiązaniem układu równań. Jest to układ oznaczony

Na powyższym wykresie proste się pokrywają, czyli każda para liczb spełniające jedno z równań, spełnia też drugie, rozwiązań takiego układu jest nieskończenie wiele, jest to układ nieoznaczony.

Na powyższym wykresie proste są równoległe, nigdy się nie spotkają, więc taki układ nie będzie miał rozwiązania, taki układ jest sprzeczny.

Twierdzenie 1: Jeżeli z jednego równania układu wyznaczamy jedną niewiadomą i podstawimy otrzymane wyrażenie do drugiego równania zamiast tej niewiadomej, to układ równań złożony z pierwszego równania i tak przekształconego drugiego równania jest równoważny danemu.

Przykład 1

Mamy układ równań

, teraz staramy się obliczyć x lub y, w tym przypadku najłatwiej będzie obliczyć y.

, teraz nasz obliczony y podstawiamy do pierwszego równania.

, teraz możemy obliczyć nasz x

, pozostaje nam obliczyć y

, w ten sposób obliczyliśmy x i y.

Twierdzenie 2: Jeśli obie strony jednego z równań pomnożymy przez dowolną liczbę różną od zera, a następnie otrzymane równanie drugie równanie dodamy stronami, i tak otrzymanym równaniem zastąpimy dowolne z równań układu, to otrzymamy układ równań równoważny danemu.

Przykład 2

Mamy układ równań:

, teraz pomnóżmy równanie 2 razy 2

, otrzymamy wtedy:

, teraz dodajmy oba równania stronami:

, możemy już bez problemu obliczyć x

, teraz obliczmy y:

, to są rozwiązania naszego układu równań

Kolejnym sposobem może być rozwiązanie układu równań za pomocą wyznacznika macierzy:

, taki układ równań możemy zapisać w prostokątnej tablicy zwanej macierzą.

, jednak w praktyce lepiej posługiwać się macierzą kwadratową (na studiach ogarniesz czemu J), w tym przypadku będzie to

wyglądało tak:

, , , z macierzy kwadratowej można obliczyć jej wyznacznik.

Definicja 3: Wyznacznikiem macierzy

nazywamy liczbę ad-cb, którą oznaczamy

(Pamiętaj że symbol macierzy różni się od symbolu wyznacznika macierzy.)

Przykład 3

Oblicz wyznacznik macierzy

Korzystając ze wzoru z definicji mamy:

5*3-(-5*2)=15-(-10)=15+10=25

Wróćmy do naszego układu równań:

, a12+b12>0 i a22+b22>0

Wprowadźmy teraz pewne oznaczenia:

W= Wx= Wy=

Twierdzenie 3: Układ równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi

, a12+b12>0 i a22+b22>0

Ma tylko jedno rozwiązanie, jeśli W≠0

, jest to układ Cramera

Ma nieskończenie wiele rozwiązań, jeśli W=Wx=Wy=0
Nie ma rozwiązań, jeśli W=0 i (Wx≠0 lub Wy≠0)

Przykład 4

Rozwiąż układ równań:

Zaczynamy od obliczenia wyznaczników:

Wx=

Wy=

W= 11*(-34) –((-22)*32)=-374+704=330

Wx=68*(-34)-(8*32)=-2312-256=-2568

Wy=11*8-((-22)*68)=88+1496=1584

Zadania do zrobienia

1. Rozwiąż układy równań metodą podstawiania

Odp.

2. Rozwiąż układy równań metodą przeciwnych współczynników

Odp. układ sprzeczny

3. Rozwiąż układy równań metodą graficzną

Odp.

4. Rozwiąż układy równań, stosując wyznaczniki

Odp. a)

5. Dopisz brakujące równanie układu tak, aby powstały układ równań:

a) był sprzeczny

b) był nieoznaczony

c) był oznaczony