Przykład 1

a) Ustal ilość rozwiązań układu równań w zależności od parametru k:

b) Wyznacz wartość parametru m, dla których rozwiązaniem układu równań jest para liczb o takich samych znakach.

a)

Zaczynamy od obliczenia współczynników:

W== -k2+2

Wx=-4k+12

Wy==6k+4

Teraz obliczamy x i y:

x=

y=

Teraz musimy wyznaczyć ilość rozwiązań w zależności od tego ile wynosi k:

Sprawdźmy co się stanie jeżeli W=0:

=0

k2=2

k= lub k=-, jeżeli podstawimy jedno z tych k do Wx i Wy to wtedy otrzymamy:

W=0

Wx≠0

Wy≠0, wtedy taki układ będzie sprzeczny.

Podsumujmy:

Jeśli k należy do R/{, to układ równań spełnia tylko jedna para liczb: x=

y=

Jeśli k= lub k=-, to układ równań nie ma rozwiązań.

b)

 Tak samo zaczynamy od obliczenia współczynników:

W==8+4=12

Wx==-8|m|-4m+12-12|m|+6m=-20|m|+2m+12

Wy==8|m|-4m+8|m|+4m-12=16|m|-4

x=

y=

Jeżeli chcemy żeby rozwiązania miały ten sam znak musimy postawić następujące warunki:

(-20|m|+2m+12>0 i 16|m|-4>0) lub (-20|m|+2m+12<0 i 16|m|-4<0)

Czyli obie muszą być dodatnie lub ujemne.

Zajmijmy się na początku lewą stroną,

(-20|m|+2m+12>0                          i                          16|m|-4>0

Tu robimy 2 przypadki kiedy: za                               |m|>1/4

|m| podstawiamy m a w drugim –m                       m>1/4 lub m<-1/4

-20m+2m+12>0 lub 20m+2m+12>0

-18m>-12                     22m>-12

m<2/3                        m>-6/11

Czyli m należy do części wspólnej  przedziałów () i ( (-∞, ) u ( ∞), musimy teraz wyznaczyć część wspólną, narysujmy rysunek pomocniczy:

Czyli aby oba rozwiązania miały znak dodatni, parametr ma należeć do przedziału:

() w sumie z

Drugi przypadek obliczamy w ten sam sposób, po obliczeniu nasz rysunek drugiego przypadku będzie wyglądał tak:

Jak widać nie ma części wspólnej tych przedziałów, więc nie ma takich wartości parametru przy których oba rozwiązania są ujemne.

Zadania do zrobienia