Wiemy już, jak rozwiązywać równania wielomianowe, jednak nie zawsze w zadaniu bezpośrednio jest podane równanie. Przećwiczmy sytuacje, gdy do równania, z których możemy wyliczyć wielkości wymagane w zadaniu musimy „dojść” sami.

Przykład  1.

Wyznaczmy wszystkie liczby rzeczywiste , dla których iloczyn ich sześcianu i sześcianu liczb mniejszych od  o 4 jest równy  729.

Analiza;

 – szukana liczba rzeczywista
 – szukana liczba rzeczywista pomniejszona o 4
 – iloczyn kwadratów tych liczb

Ułożenie i rozwiązanie równania:

Skorzystajmy ze wzoru skróconego mnożenia:

Z własności tego wzoru skróconego mnożenia wiemy, że drugi czynnik powyższego równania nie ma miejsc zerowych, więc:

  oraz 

Odpowiedź: Liczby rzeczywiste, które spełniają opisaną w zadaniu własność to
;

Przykład  2.

Z metalu wykonano dwie figury: kulę o promieniu  oraz stożek o promieniu równym  i wysokości 3. Różnica objętości tych dwóch brył jest równa . Obliczmy objętość kuli i stożka.

Dane:

 promień kuli (>0)
 promień stożka )
 
 wysokość stożka
 
 

Zgodnie z treścią zadania:

   /

Rozkładamy powyższe równanie na czynniki:

Stąd otrzymujemy, że:

 
Wyróżnik drugiego z tych wyrażeń, jest ujemny, więc równanie nie ma rozwiązań.
Wiemy więc, że  Stąd:

      oraz    

Co kończy nasze zadanie.

Zadania do zrobienia

1. Iloczyn kwadratu pewnej liczby i kwadratu liczby o  od niej większej jest równy . Wyznacz te liczby.

Odp.  i  lub  i

2. Iloczyn trzech kolejnych liczb parzystych jest równy . Jakie to liczby?

Odp. i

3. Reszta z dzielenia wielomianu  3x³ + (a² + 3)x² - ax - a³ przez dwumian  wynosi  Oblicz wartość parametru . Dla znalezionej wartości parametru wyznacz pierwiastki wielomianu

Odp.  pierwiastki wielomianu: