Przykład  1.

Wyznaczmy wszystkie wartości parametru , dla których równanie
  ma dwa różne rozwiązania.

Rozwiązania tego równanie możemy zapisać za pomocą alternatywy dwóch równań:

Rozwiązaniem równania (M) jest . Żeby wyjściowe równanie miało dokładnie dwa różne rozwiązania, to równanie (P) musi mieć (I) dwa różne rozwiązania, przy czym jedno musi być równe (-3) lub (II) musi mieć jedno rozwiązanie różne od (-3).

Przypadek I:

Warunki:    

Rozwiązanie:
ad1.  

ad2.

Stąd wynika, że przypadek

Przypadek II:

Z przypadku pierwszego wiemy, że .

Wtedy wielomian P ma postać:  Pierwiastkiem tego równania nie jest
 (-3), więc  spełnia warunki zadania.

Podsumowanie: Równanie  ma dokładnie różne rozwiązania gdy .

Przykład  2.

Wykażmy, że niezależnie od parametru  równanie  ma zawsze dwa różne pierwiastki rzeczywiste.

Czynnik  nie ma pierwiastków rzeczywistych, więc de facto musimy udowodnić, że równanie . Jest to trójmian kwadratowy, policzmy więc deltę.

To równanie nie ma pierwiastków, oraz współczynnik , więc dla każdego  równanie , więc równanie ma zawsze dwa różne pierwiastki rzeczywiste.

Co kończy dowód.

Przykład  3.

Wyznaczmy wszystkie wartości parametru , dla których równanie

Ma trzy różne rozwiązania.

Podstawmy zmienną pomocniczą . Wtedy równanie ma postać:

Równanie  ma trzy różne rozwiązania wtedy i tylko wtedy, gdy równanie  ma dwa rozwiązania, przy czym jedno z nich musi być dodatnie, a drugie równe 0. Zapiszmy warunki:

Obliczmy:

Otrzymujemy:

Jedyna liczbą  spełniającą wszystkie te warunki jest , więc równanie P ma trzy różne pierwiastki wtedy i tylko wtedy, gdy .

Zadania do zrobienia