Definicja 1
Niech w układzie współrzędnych dane będą punkty A(, ) i B(). Wektorem nazywamy uporządkowaną parę liczb
[–, -]. Taki wektor oznaczamy symbolem  . Liczby -, - nazywamy współrzędnymi wektora.

Wektorem zerowym nazywamy wektor, którego obie współrzędne są zerami 
i oznaczamy go. Takim wektorem w układzie współrzędnych jest punkt.

OZNACZENIA: Piszemy „wektor  =[a,b]” lub „wektor  =[x,y].

Definicja 2
Wektory  = [] i = [] są równe wtedy, gdy = i =. Równość wektorów   i zapisujemy  = .

Przykład 1

Dany jest punkt B(2,3) oraz wektor  = [-5,2]. Znajdź współrzędne punktu A, dla którego  =  .

Oznaczmy współrzędne szukanego punktu A(x,y), następnie obliczmy współrzędne wektora  :

= [2-x, 3-y].

Wiemy, że wektory  i są równe, więc odpowiednie współrzędne mają identyczne,

[2-x,3-y] = [-5,2],

Czyli

2-x = -5 i 3-y=2, skąd

x= 7 i y= 1.

Otrzymaliśmy więc, że A(7,1).

Przykład 2

Na rysunku przedstawione są wektory. Odczytaj z niego współrzędne wektorów i wskaż wektory równe.

 =[2,3]                          =[1,3]

=[1,3]                          =[2,3]

=[-2,3]                        =[-1,4]

Wektory równe to wektory  i  oraz  i  .

Definicja 3
Sumą wektorów   = [] i = [] nazywamy wektor [+, +]. Sumę wektorów   i  oznaczamy   +  .

Przykład 3

Wyznacz sumę wektorów   = [3,-2] i = [5, 3] i przedstaw jej graficzną interpretację.

   +   = [3+5, -2 + 3] = [8,1]

Definicja 5
Różnicą wektorów    = [] i  = [] nazywamy wektor [–,–]. Różnicę wektorów   i  oznaczamy  -  .

Definicja 6
Iloczynem wektora   =  [], przez  liczbę rzeczywistą a nazywamy wektor
[a ×,  a ×].  Iloczyn wektora   przez liczbę a oznaczamy a×   .

Przykład 4

Jeśli    = [4, -2] i a = 3, to a ×   = [4×3, -2×3] = [12,-6].

Jeśli dla wektorów niezerowych i  istnieje liczba rzeczywista a, dla której  = a ×  , to wektory   i nazwiemy wektorami równoległymi. Jeśli dodatkowo a > 0, to wektory   i  mają ten sam zwrot; natomiast jeśli a<0, to wektory  i mają przeciwny zwrot.

Definicja 7
Długością wektora    = [,] nazywamy liczbę . Długość wektora   oznaczamy | |.

Przykład 5

Oblicz długość wektora   = [9,-3] .

Otrzymujemy | | =  =  = = 3 .

Jeśli A(a,b) i B(c,d), to długość wektora przedstawiamy wzorem:
| | = .
Powyższy wzór łatwo uzasadnić powołując się na tw. Pitagorasa.
Na koniec, trzy twierdzenia charakteryzujące wektory równe, wektory przeciwne oraz działania na wektorach.

Twierdzenie 1
Jeśli wektory niezerowe    i   są równe, to wektory te:

• są równoległe,
• mają ten sam zwrot,
• mają taką samą długość.

Twierdzenie 2
Jeśli wektory niezerowe    i   są przeciwne, to wektory te:

• są równoległe,

• mają przeciwny zwrot,

• mają taką samą długość.

Twierdzenie 3
Dla dowolnych wektorów, , oraz dowolnych liczb rzeczywistych k,l:

•  +  =  +

• ( +)+ =   + (+)

• k × (l ×) = (k × l) ×

• (k+l) ×   = k ×   + l ×

• k ×(  + = k ×  + k ×

Zadania o zrobienia

1. Oblicz współrzędne wektora , mając dane punkty

 Odp.  

2. Oblicz współrzędne wektorów , , , , , , jeśli:

 Odp.    ,   =,      

3. Oblicz długość wektora, jeśli:

a)       b)

 Odp. a) || =       b) || =

4. Dane są punkty: . Wyznacz taki punkt D, aby   - = .
Odp. D ( 9 ; -7)