Baza wiedzy

Zbiór informacji z matematyki oraz fizyki przygotowany przez Szkołę Maturzystów

Symetria środkowa względem punktu (0,0)

Twierdzenie 1
Obrazem punktu A(x,y) w symetrii środkowej względem poczatku układu współrzędnych O(0,0) jest punkt  (-x,-y).

 

Przykład 1

W prostokątnym układzie współrzędnych narysujemy odcinek AB o końcach A(-4,2) i B(3,-1).

Znajdziemy współrzędne końców odcinka   będącego obrazem odcinka AB.

Korzystając z twierdzenia wiemy że:

  (-1 ×(-4), -1×2) czyli  (4,-2)

  (-1×3,-1×(-1)) czyli  (-3,1).

 

Twierdzenie 2
Wykres funkcji y=-f(-x) powstaje w wyniku przekształcenia wykresu funkcji y=f(x) przez symetrię środkową względem początku układu współrzędnych.

 

Przykład 2

Wykres funkcji f(x)= 1,5x + 2 przekształcono przez symetrię środkową względem punktu O(0,0)  i otrzymano wykres funkcji k. Wyznacz wzór funkcji k i naszkicuj jej wykres.

Po przekształceniu wykresu funkcji f(x)=1,5x+2 przez symetrie środkową względem punktu O(0,0) otrzymujemy wykres funkcji y=-f(-x). Zatem:

k(x)=-f(-x)=-[1,5(-x)+2]=1,5x -2


Zadania do zrobienia

1. Funkcja  opisana jest wzorem . Wykres funkcji  powstaje w wyniku przekształcenia wykresu funkcji  przez symetrię środkową względem punktu . Naszkicuj wykres funkcji . Następnie:

a) podaj wzór funkcji

b) określ dziedzinę funkcji

c) oblicz współrzędne punktu wspólnego wykresu funkcji  i osi .

 Odp. a)                              b)  (,                                c)

 

2. Funkcja  opisana jest wzorem  . Wykres funkcji g powstaje w wyniku przekształcenia wykresu funkcji  przez symetrie środkową względem punktu . Naszkicuj wykres funkcji  Następnie:

a) podaj wzór funkcji g

b) oblicz współrzędne punktu wspólnego funkcji i osi .

 Odp. a)           b)