Przykład 1.

Rozwiążmy równanie: , gdzie

Zauważmy, że lewa strona równania jest zawsze równa 1, oraz sprowadźmy prawą stronę równania do postaci potęg o tych samych podstawach:

Podstawmy zmienną , wtedy równanie ma postać

Z tych rozwiązań warunek  spełnia tylko więc:

Dane równanie nie ma rozwiązań należących do dziedziny: .

Przykład 2.

Wyznaczmy wszystkie wartości parametru , dla których równanie   ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste.

Podstawmy zmienną , wtedy równanie ma postać:

To równanie będzie miało dwa rozwiązania wtedy i tylko wtedy, gdy:

A więc to równanie wykładnicze ma dwa różne rozwiązania, gdy .

Przykład 3.

Wyznaczmy wszystkie wartości parametru , dla których równanie  ma rozwiązanie rzeczywiste.

Przenieśmy niewiadome na jedną stronę.

Korzystamy ze wzoru znanego nam z trygonometrii:

Korzystamy z tego, że  i dzielimy wyrażenie obustronnie przez -1.

Lewa strona równości zawsze przyjmuje wartości z przedziału , więc równanie po prawej stronie ma rozwiązania, gdy:

Funkcja wykładnicza o podstawie  jest funkcją malejącą, więc:

Podsumowując: równanie  ma rozwiązania rzeczywiste wtedy i tylko wtedy, gdy .

Zadania do zrobienia