Zastosowanie równań i nierówności logarytmicznych w rozwiązywaniu zadań

Przykład 1.

Wyznaczmy wszystkie wartości x, dla których liczby tworzą w podanej kolejności ciąg arytmetyczny.

Z własności ciągu arytmetycznego wiemy, że by warunki zadania zostały spełnione prawdziwym musi być równanie:

Rozwiążmy więc równanie logarytmiczne:

Podstawmy zmienną pomocniczą , wtedy równanie ma postać:

Ponieważ to jedyną liczbą spełniającą to równanie jest .

Wracamy do podstawienia:

Rozwiążmy nierówność:

Lewa strona nierówności jest sumą nieskończonego ciągu geometrycznego, w którym:

. Suma wyrazów takiego ciągu jest równa:

Podstawiamy zmienną pomocniczą

Wracamy do podstawienia:

Po uwzględnieniu dziedziny otrzymujemy poniższe rozwiązanie:

1. Rozwiąż nierówność w przedziale .

Odp. .

2. Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których nierówność

Odp. .

3. Rozwiąż równanie:

Odp.

4. Wyznacz wszystkie wartości , dla których ciąg jest ciągiem arytmetycznym. Podaj różnicę tego ciągu.

Odp.