Własności funkcji kwadratowej y=ax2
Wzór z definicji jest wzorem w postaci ogólnej, oto kilka przykładowych wzorów funkcji:
y=3x2, gdzie a=3, b=0, c=0
y= 3x2-5x, gdzie a=3, b=-5, c=0
y=1/2x2+4x-3, gdzie a=1/2, b=4, c=-3
Przykład 1
Naszkicuj wykresy funkcji:
y=2x2, y=
x2
y=-2x2, y=
x2
Aby narysować wykres funkcji, podstawiasz dowolnego x i
wyliczasz y, lub na odwrót np. jeżeli podstawimy do pierwszego wzoru y=2x2,
x równy 0 to y będzie równy 0, jeżeli 2 to y będzie równy 8 itd.
Czerwonym kolorem jest zaznaczony wykres funkcji y=x2, a zielonym y=2x2.
Na podstawie tego przykładu można wysunąć następujące wnioski:
-Wykresem funkcji y=ax2(a≠0) jest parabola,
- Jeżeli a>0, to ramiona paraboli są skierowane ku górze,
-Jeżeli a<0, to ramiona są skierowane ku dołowi,
-Osią symetrii jest w tym przypadku prosta x=0
-Wierzchołkiem W w paraboli y= ax2(a≠0, jest punkt (0,0)
Czyli to jaki znak jest przed a, ma spory wpływ dla własności funkcji y=ax2, wypiszmy pozostałe:
|
a>0 |
a<0 |
|
Zbiorem własności funkcji jest przedział: <0,+∞) |
Zbiorem własności funkcji jest przedział: (-∞,0> |
|
Funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla argumentów różnych od zera: y>0 |
Funkcja przyjmuje wartości ujemne dla argumentów różnych od zera: Y<0 |
|
Funkcja jest malejąca w przedziale (-∞,0>, rosnąca w <0,+∞) |
Funkcja jest rosnąca w przedziale (-∞,0>, malejąca w <0,+∞) |
|
Funkcja nie przyjmuje wartości największej, przyjmuje wartość najmniejszą równą 0 |
Funkcja nie przyjmuje wartości najmniejszej, przyjmuje wartość największą równą 0 |
Na podstawie wykresu, napisz wzór funkcji y=ax2:
Teraz trzeba znaleźć punkt którego współrzędne należą do wykresu, najlepiej tak aby współrzędne były liczbami całkowitymi, to ułatwi obliczenia ( o ile to możliwe), w tym przypadku możemy zauważyć że punkt A(-2,-1) i B(2,-1) należą do wykresu, podstawmy do wzoru y=ax2 jeden z tych punktów:
-1=a*-22
-1=a*4
=a
Tak więc wzór naszej funkcji to: y=
x2
Czerwonym
kolorem jest zaznaczony wykres funkcji y=
x2, a zielonym y=2x2.
Na podstawie tego przykładu można wysunąć następujące wnioski:
-Wykresem funkcji y=ax2(a≠0) jest parabola,
- Jeżeli a>0, to ramiona paraboli są skierowane ku górze,
-Jeżeli a<0, to ramiona są skierowane ku dołowi,
-Osią symetrii jest w tym przypadku prosta x=0
-Wierzchołkiem W w paraboli y= ax2(a≠0, jest punkt (0,0)
Czyli to jaki znak jest przed a, ma spory wpływ dla własności funkcji y=ax2, wypiszmy pozostałe:
|
a>0 |
a<0 |
|
Zbiorem własności funkcji jest przedział: <0,+∞) |
Zbiorem własności funkcji jest przedział: (-∞,0> |
|
Funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla argumentów różnych od zera: y>0 |
Funkcja przyjmuje wartości ujemne dla argumentów różnych od zera: Y<0 |
|
Funkcja jest malejąca w przedziale (-∞,0>, rosnąca w <0,+∞) |
Funkcja jest rosnąca w przedziale (-∞,0>, malejąca w <0,+∞) |
|
Funkcja nie przyjmuje wartości największej, przyjmuje wartość najmniejszą równą 0 |
Funkcja nie przyjmuje wartości najmniejszej, przyjmuje wartość największą równą 0 |
Zadania do zrobienia
1. Funkcja kwadratowa ma wzór: 
. Sprawdź, wykonując
obliczenia, które z podanych punktów: 
należą do wykresu funkcji f.
Odp. punkty 
i 
2. Napisz wzór funkcji kwadratowej 
, gdzie
, do wykresu której
należy punkt:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
Odp. a)
b)
c)
d) 
e) 2
f)