1. Strona główna
  2. Baza wiedzy

Baza wiedzy

Zbiór informacji z matematyki oraz fizyki przygotowany przez Szkołę Maturzystów

Wykres funkcji liniowej


Definicja: Funkcją liniową nazywamy funkcję, którą można opisać wzorem y=ax+b, gdzie a i b są ustalonymi liczbami rzeczywistymi; a nazywamy współczynnikiem kierunkowym, b – wyrazem wolnym. Dziedziną funkcji liniowej jest zbiór liczb rzeczywistych R.

Funkcja liniowa na wykresie ma postać prostej, aby poprawnie narysować wykres funkcji liniowej wystarczą nam jedynie dwa punkty należące do tego wykresu:

Łatwo można obliczyć niektóre punkty np.:

Jeżeli za x podstawimy 0 to wzór funkcji przyjmie postać: f(0)=b, więc wiemy że punkt (0,b) na pewno należy do wykresu.

Jeżeli za x podstawimy 1 to wzór będzie wyglądał tak: f(1)=a+b, więc wiemy że punkt (1,a+b) również należy do wykresu.

Twierdzenie 1: Wykresem funkcji liniowej y=ax+b gdzie a, b są ustalonymi liczbami rzeczywistymi, jest prosta przechodząca przez punkty (0, b) i (1, a+b).

Przykład 3

Naszkicujmy wykres funkcji liniowej: f(x)=-0,5x+3

Patrząc na twierdzenie, wiemy że punkty (0,3) i (1, 2,5) należą do wykresu, wystarczy poprowadzić przez nie naszą prostą.

 

  

Twierdzenie 2: Funkcja liniowa y=ax+b jest:
Rosnąca wtedy, gdy a>0
Malejąca wtedy, gdy a<0
Stała wtedy, gdy a=0.


Przykład 4

Dla jakich wartości m, funkcja: f(x)=(m+3)x-2 jest malejąca?

Patrząc na twierdzenie powyżej, stwierdzamy, że funkcja będzie malejąca

Jeżeli m+3<0, czyli m<-3, to znaczy że m należy do przedziału (-∞, -3).

Przykład 5

Na podstawie wykresu, wyznaczmy wzór funkcji

 

Jak widać prosta przecina oś OX w punkcie (1, 0) a oś OY w punkcie (0, -2), na podstawie pierwszego twierdzenia, obliczamy a i b:

a+b=0

b=-2

Łatwo obliczyć że a jest równe 2, teraz do wzoru f(x)=ax+b, podstawiamy nasze a i b, wzór funkcji to: f(x)=2x-2


Zadania do zrobienia


1. Wykorzystując znaczenie współczynników we wzorze funkcji liniowej, naszkicuj wykres funkcji:

a)

b)


 

2. Wyznacz liczbę k, a następnie oblicz wartość wyrazu wolnego we wzorze funkcji liniowej, wiedząc, że do wykresu tej funkcji należy punktoraz:

a)

b)

Odp.      a)     b)


 

3. Wyznacz liczbę , a następnie oblicz wartość współczynnika kierunkowego funkcji liniowej, wiedząc, że do wykresu tej funkcji należy punkt , jeśli:

a) )

b)


Odp.      a)     b)