Figurą geometryczną płaską (figurą płaską) nazywamy dowolny zbiór punktów płaszczyzny.
Najprostszą figurą jest punkt. Oznaczamy go dużą literą, np. A,B itd. Jeszcze
inną figurą jest prosta. Do prostej należy nieskończenie wiele punktów,
ale przez dowolne dwa punkty możemy przeprowadzić tylko jedną prostą, jeśli
przechodzi przez punkty A, B to nazywamy ją prostą AB i oznaczamy pr. AB.
Proste oznaczamy małymi literami, np. k, l, m itd.
Punkty nazywamy współliniowymi jeśli należą do jednej
prostej, w przeciwnym wypadku nie są współliniowe.
Odcinek o końcach A, B to figura utworzona z punktów A i B
oraz z wszystkich punktów prostej AB, leżących pomiędzy A i B. Do określania
długości odcinka potrzebujemy odcinka jednostkowego czyli takiego, któremu
przypisujemy wartość 1. Później ustalamy ile razy ten odcinek mieści się w
odcinku AB. Liczba ta jest długością naszego odcinka i oznaczamy ją |AB|.
![](data:image/png;base64,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)
Figura wypukła jest to figura, dla której dla dowolnych
punktów A,B należących do tej figury, powstaje odcinek AB zawierający się w tej
figurze. Figurę, która nie jest wypukła
nazywamy wklęsłą lub niewypukłą.
Twierdzenie 1
Część wspólna dwóch figur wypukłych jest figurą
wypukłą.
Twierdzenie 2
Część wspólna skończonej liczby figur wypukłych
jest figurą wypukłą.
Kolejną figurą, o której wspomnimy jest półprosta. Na
prostej l, dowolny punkt A wyznacza nam dwie półproste o początku w tym samym
punkcie. O takich półprostych, dających
w sumie prostą, mówimy że się dopełniają. Każda z półprostych składa się
z ze wszystkich punktów prostej, leżących po jednej stronie punktu A.
Definicja 1
Kąt jest to suma dwóch półprostych o wspólnym
początku i jednej z dwóch figur (zwanej
wnętrzem kąta), wyciętych z płaszczyzny przez sumę tych półprostych. Półproste
i
to ramiona kąta, punkt O to wierzchołek kąta.
![](data:image/png;base64,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)
Kąt oznaczamy: ∢AOB, gdzie pierwsza litera oznacza
punkt na jednym ramieniu kąta, środkowa litera – wierzchołek kąta i ostatnia-
punkt na drugim ramieniu kąta. Oznaczamy je też przy użyciu liter greckich np. ∢α.
Kątem półpełnym nazywamy kąt, którego ramiona tworzą prostą.
Jeśli ramiona kąta się pokrywają to otrzymujemy kąt pełny lub kąt zerowy. Kąt
pełny jest płaszczyzną z wyróżnioną półprostą, a kąt zerowy- prostą wyróżnioną
na płaszczyźnie.
Miarą do porównywania kątów jest najczęściej miara
stopniowa. W tej mierze kątem jednostkowym jest
kąta pełnego. Kąt ten ma miarę 1 stopnia (1°).
1° =
60’( 60 minut)
1’=60’’ (60 sekund)
Kąty wypukłe – ich miary wynoszą od 0° do 180° włącznie.
Są to:- Kąty ostre – mają mniej niż 90°.
- Kąty rozwarte - mają
więcej niż 90° i
mniej niż 180°.
- Kąty wklęsłe – ich miary są większe od 180° i mniejsze od 360°.
Jeśli dwa kąty mają jedno ramię wspólne, a dwa pozostałe
ramiona tworzą prostą to są to kąty przyległe. Suma kątów przyległych tworzy
kąt półpełny (180°).
Przykład 1
Oblicz miarę kąta α.
![](data:image/png;base64,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)
Kąty ABD i DBC są kątami przyległymi, zatem suma ich miar
musi być równa 180°. Stąd:
12°+
α + 90° + 45°=180°
α=33°
Dwa kąty nazywamy wierzchołkowymi wtedy, gdy ramiona jednego
kąta, są przedłużeniem drugiego. Ich miary są sobie równe.
Przykład 2
Korzystając z danych z rysunku, oblicz |∢AOD|.
![](data:image/png;base64,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)
Korzystając z tego, że kąty wierzchołkowe są równe
otrzymujemy równość:
4α+13°=2α+33°, skąd α=10°.
|∢AOB|= 4α+13°= 53°
Kąty AOB i AOD są przyległe zatem:
|∢AOD|=180°-53°=127°
Figurę płaską nazywamy ograniczoną, gdy istnieje takie koło,
które zawiera tę figurę. Są to na przykład punkt, odcinek czy koło. Figura,
która nie jest ograniczona jest nazywana nieograniczoną. Są to na przykład
prosta, półprosta czy kąt.