Łamana. Wielokąt. Wielokąt foremny.
Łamana jest to figura geometryczna, którą można przedstawić jako sumę skończonej liczby odcinków tak, aby:
- dowolne dwa odcinki miały co najwyżej jeden punkt wspólny,
- odcinki można było tak uporządkować, żeby koniec każdego odcinka ( oprócz ewentualnie ostatniego) był początkiem następnego.
Odcinki tworzące łamaną nazywamy bokami łamanej, a końce boków – wierzchołkami łamanej.
Przykład 1
Figura przedstawia łamaną.
Figura poniżej nie jest łamaną.
Łamana zwyczajna jest to łamana, której odcinki spełniają następujące warunki:
- dwa odcinki mające wspólny koniec nie zawierają się w jednej prostej,
- dwa odcinki niemające wspólnego końca nie mają punktów wspólnych,
- każdy z punktów łamanej może być końcem co najwyżej dwóch jej boków.
Łamana zwyczajna jest zamknięta, jeśli początek pierwszego i koniec ostatniego odcinka się pokrywają.
Wielokątem nazywamy figurę ograniczoną, wyciętą z płaszczyzny przez łamaną zwyczajną zamkniętą; punkty łamanej należą do wielokąta.
Przekątną wielokąta nazywamy odcinek łączący dwa wierzchołki i niebędący bokiem.
Liczba przekątnych w n-kącie (nÎN, n≥3) wyraża się wzorem
.Przykład 2
Policz jaki to wielokąt jeśli liczba jego przekątnych jest 3 razy większa od ilości boków.
Korzystając ze wzoru z powyższego twierdzenia otrzymujemy:
=3n
n(n-3)=6n
n(n-3)-6n=0
n(n-9)=0
n=0 lub n=9.
Liczba 0 nie spełnia warunku n≥ 3, zatem dany wielokąt jest dziewięciokątem.
Kątem zewnętrznym wielokąta wypukłego nazywamy kąt przylegający do kąta wewnętrznego.
Wielokątem foremnym nazywamy taki wielokąt, którego wszystkie boki mają taką samą długość i wszystkie kąty są równe.
Zadania do zrobienia
1. Wyznacz liczbę przekątnych
a) sześciokąta
b) ośmiokąta
c) dwunastokąta
d) pietnastokąta
Odp. a) 9
b) 20
c) 54
d) 90
2. W jakim wielokącie liczba przekątnych
a) trzy razy większa od liczby boków
b) pięć i pół raza większa od liczby boków
Odp. a) w dziewięciokącie
b) w czternastokącie
3. Na płaszczyźnie zaznaczono n punktów, n 
3, z których dowolnie trzy nie są
współliniowe. Wyznacz n, wiedząc, że
liczba wszystkich odcinków łączących te punkty jest równa:
a) 45
b) 78
Odp. a) n = 10
b) n = 13