1. Strona główna
  2. Baza wiedzy

Baza wiedzy

Zbiór informacji z matematyki oraz fizyki przygotowany przez Szkołę Maturzystów

Wzajemne położenie prostych na płaszczyźnie, odległość punktu od prostej, odległość między prostymi równoległymi, symetralna odcinka, dwusieczna kąta

Dwie proste na płaszczyźnie mogą być albo równoległe albo przecinające się (nierównoległe).
Mówimy o prostych równoległych jeśli te proste nie mają punktów wspólnych lub pokrywają się.
V aksjomat Euklidesa
Przez punkt nieleżący na prostej można poprowadzić tylko jedną prostą równoległą do danej prostej.
Odcinki zawarte w prostych równoległych, są również równoległe.
Zbiór wszystkich prostych równoległych do prostej k nazywamy kierunkiem prostej k.
Proste przecinające się mają tylko jeden punkt wspólny.
Kąt między przecinającymi się prostymi to kąt nie większy niż kąt prosty, wyznaczony przez te proste. Jeśli przecinają się one pod kątem prostym to mowa wtedy o prostych prostopadłych. Odcinek zawarty w prostej jest również prostopadły do prostej prostopadłej do prostej go zawierającej. Natomiast dwa odcinki są do siebie prostopadłe wtedy, gdy są zawarte w prostych prostopadłych.
Odległość punktu A od prostej l to długość odcinka prostopadłego do prostej l, którego jednym końcem jest punkt A, a drugim punkt należący do prostej l. Jeśli punkt A zawiera się w tej prostej to odległość jest równa zero.
Odległość różnych prostych równoległych to długość odcinka prostopadłego do tych prostych, którego końce są w nich zawarte.

Przykład 1

Odległość punktu B od prostej k jest równa 7cm, a od prostej l (równoległej do k) – 4cm. Oblicz odległość tych prostych od siebie.

Możliwe są dwa przypadki:

W pierwszym:

7-4=3 cm

W drugim:

7+4=11 cm

Definicja 1
 Symetralną odcinka nazywamy prostą prostopadłą do odcinka, dzielącą go na dwie równe części.
Twierdzenie 1
 Symetralna odcinka jest zbiorem punktów płaszczyzny, równo odległych od końców tego odcinka.
Definicja 2
 Dwusieczną kąta nazywamy półprostą o początku w wierzchołku kąta, dzielącą kąt na dwa kąty równe.
Twierdzenie 2
 Dwusieczna kąta wypukłego jest zbiorem punktów kąta, równo odległych od ramion tego kąta.

Jak narysować dwusieczną kąta przy pomocy linijki i cyrkla?
  1. Rysujemy okrąg o środku w punkcie O i dowolnym promieniu r. Okrąg ten przecina ramiona kąta w punkcie P i Q.
  2. Rysujemy okręgi o długości promienia r i środkach w punktach P i Q. Okręgi te przecinają się w punktach O i S.
  3. Rysujemy półprostą , która jest szukaną dwusieczną. Jak narysować dwusieczną kąta przy pomocy linijki i cyrkla? Rysujemy okrąg o środku w punkcie O i dowolnym promieniu r. Okrąg ten przecina ramiona kąta w punkcie P i Q. Rysujemy okręgi o długości promienia r i środkach w punktach P i Q. Okręgi te przecinają się w punktach O i S. Rysujemy półprostą , która jest szukaną dwusieczną.


Zadania do zrobienia


1. Na ile części rozcinają płaszczyznę trzy różne proste? Rozpatrz wszystkie przypadki.

 Odp. Na cztery lub na sześć, lub na siedem części

 

2. Odległość między dwiema prostymi równoległymi i  jest równa . Punkt leży w odległości  cm od prostej k. Jaka jest odległość punktu A od prostej l? Rozważ dwa przypadki.

 Odp.  lub

 

3. Dany jest odcinek oraz punkty: ,  i  spełniające następujące warunki:

a) ||  i |  

b) ||   i || 1, (5)

c) ||  - 1 i || 

Które z punktów ,  i  należą do symetralnej odcinka

 Odp.      a)  należy

                b)  nie należy

                c)  należy