1. Strona główna
  2. Baza wiedzy

Baza wiedzy

Zbiór informacji z matematyki oraz fizyki przygotowany przez Szkołę Maturzystów

Dwie proste przecięte trzecią prostą. Suma kątów w wielokącie

Gdy przetniemy dwie proste trzecią, ale w taki sposób aby nie przecinały się w jednym punkcie, uzyskamy w ten sposób kąty, które odpowiednio pogrupowane mają nazwy: kąty odpowiadające, kąty naprzemianległe wewnętrzne, kąty naprzemianległe zewnętrzne.

α1, α2                     α1, γ2                           α2, γ1 

β1,β2                           δ1, β2                          δ2, β1  

γ1,γ2

δ1,δ2

Twierdzenie 1
Jeżeli dwie proste tworzą z trzecią prostą kąty naprzemianległe wewnętrzne równe, to są do siebie równoległe.
Twierdzenie 2
 Jeżeli dwie proste równoległe są przecięte trzecią prostą, to kąty naprzemianległe wewnętrzne są równe.
Twierdzenie 3
 Dwie proste leżące na płaszczyźnie przecięte trzecią prostą są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy kąty naprzemianległe wewnętrzne są równe.
Z tego twierdzenia możemy wyciągnąć wniosek, że dwie proste są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy są prostopadłe do trzeciej prostej leżącej w tej samej płaszczyźnie.
Zauważmy też, że kąty naprzemianległe wewnętrzne są równe wtedy i tylko wtedy gdy równe są kąty odpowiadające i równe są kąty naprzemianległe zewnętrzne.
Twierdzenie 4
Suma kątów wewnętrznych w dowolnym trójkącie jest równa 180°.
Twierdzenie 5
Suma kątów wewnętrznych wielokąta wypukłego jest równa 180°× (n-2), gdzie  n oznacza liczbę boków wielokąta (nÎN, n > 2).
Bierze się to stąd, że z dowolnego wierzchołka możemy poprowadzić (n-3) przekątne, które dzielą nam wielokąt na (n-2) trójkąty. Suma kątow w tych trójkątach jest równa sumie kątów wielokąta. Wiedząc, że suma kątów w każdym trójkącie jest równa 180°, otrzymujemy wzór 180°(n-2).

Przykład 1

Policz miarę kąta wewnętrznego w ośmiokącie foremnym.

Nasze n=8, zatem:

180°(8-2)=180°×6= 1080°.

Teraz dzielimy nasz wynik przez n:

1080° : 8 = 135°

Odp. Miara kąta wewnętrznego w ośmiokącie foremnym  jest równa 135°.

Twierdzenie 6
W dowolnym wielokącie wypukłym suma wszystkich kątów zewnętrznych jest stała i wynosi 720°.


Zadania do zrobienia



1. Wyznacz miary kątów trójkąta ABC, korzystając z danych na rysunku oraz wiedząc, że :

 Odp.

 

2. Z punktu leżącego na zewnątrz kąta  o mierze  poprowadzono dwie proste: jedną równoległą do , a drugą prostopadłą do . Wyznacz miarę kąta między tymi prostymi.

Odp. ,

 

3. W trójkącie dwusieczna kąta  przecina bok w punkcie . Przez punkt  prowadzimy równoległą do  przecinającą bok w punkcie . Wykaż, że || ||.

Odp. wskazówka: wykaż, że || ||

 

4. Oblicz sumę miar kątów wewnętrznych dziewięciokąta

Odp.

 

5. W jakim wielokącie wypukłym suma miar kątów wewnętrznych jest równa

Odp. W czternastokącie

 

6. Oblicz miarę kąta wewnętrznego ośmiokąta foremnego

Odp.

 

7. W pięciokącie kąty wewnętrzne kolejno mają się do siebie jak . Oblicz miary tych kątów. Czy ten pięciokąt jest wypukły

Odp. , , , , ; tak