1. Strona główna
  2. Baza wiedzy

Baza wiedzy

Zbiór informacji z matematyki oraz fizyki przygotowany przez Szkołę Maturzystów

Wektor na płaszczyźnie (bez układu współrzędnych)

Wektor jest  przydatny do definiowania przekształceń geometrycznych, opisu przekształceń wykresów  funkcji czy dowodzenia twierdzeń.
Definicja 1
Wektorem (zaczepionym, związanym) nazywamy uporządkowaną parę punktów. Pierwszy z tych punktów nazywamy początkiem wektora (punktem zaczepienia), a drugi – końcem wektora. Wektor o początku w punkcie A i końcu w punkcie B oznaczamy
Długość wektora  to długość odcinka AB. Oznaczamy ją .
Wektor zerowy to wektor, którego początek pokrywa się z końcem. Reprezentacją takiego wektora jest  punkt.
Wektory równoległe to niezerowe wektory leżące na jednej prostej lub na prostych do siebie równoległych. Mówimy wtedy, że mają ten sam kierunek.
Wektor zerowy nie ma określonego kierunku ani zwrotu.
Definicja 2
Dwa wektory niezerowe są równe wtedy, gdy mają ten sam kierunek, zwrot i długość.
Wektor swobodny to zbiór wszystkich wektorów zaczepionych równych danemu wektorowi będący reprezentacją wektora swobodnego. Wektory swobodne oznaczamy poprzez np.  .
Definicja 3
Sumą wektorów  i  nazywamy wektor, oznaczany  , którego początkiem jest początek wektora , a końcem – koniec wektora równego wektorowi , zaczepionego w końcu wektora .
Możemy też zastosować tzw. „regułę równoległoboku”.
Zaczepiamy dwa wektory w tym samym punkcie i rysujemy równoległobok wyznaczony przez te wektory. Wtedy wektor wyznaczony przez przekątną tego równoległoboku jest sumą tych wektorów. Nazywamy ją też wypadkową tych wektorów.

                                                                                             

Definicja 4
Wektorami przeciwnymi nazywamy dwa wektory wtedy, gdy ich suma jest wektorem zerowym.
Wektor przeciwny do wektora  oznaczamy .
Odjąć od wektora  wektor  oznacza dodać do wektora  wektor .
Twierdzenie 1
Jeżeli wektory niezerowe   i  są przeciwne, to wektory te: są równoległe, mają przeciwne zwroty, mają taką samą długość.
Definicja 5
Iloczynem wektora niezerowego  i liczby k, k ≠ 0, nazywamy wektor równoległy do wektora  mający długość
|k| ×  i zwrot zgodny z wektorem  jeśli k>0, natomiast zwrot przeciwny do wektora , jeśli k<0. Iloczyn taki oznaczamy k × . Dodatkowo przyjmujemy, że iloczyn wektora zerowego i liczby jest wektorem zerowym; również iloczyn wektora niezerowego i liczby zero jest wektorem zerowym.
Twierdzenie 2
Dla dowolnych wektorów , ,  oraz dowolnych liczb rzeczywistych k,l:

Przykład 1

Dany jest prostokąt ABCD. Znajdź graficznie wektor   .

Najpierw znajdźmy wektor  .

Następnie od znalezionego wektora   odejmujemy wektor  i otrzymujemy szukany przez nas wektor   .


Zadania do zrobienia


1. W prostokącie  punkt  jest środkiem boku , zaś punkt jest środkiem boku . Wiedząc że  = 6 i  = 2, wyznacz wektory ,  oraz  w zależności od wektorów  i .

Odp.  =  + 3,  =   ,  =  


 2. W sześciokącie foremnym dane są wektory:   ,   . Wyraź w zależności od  i  wektory: , , , , .

Odp.  = 2 + ,  = ( + ),  =  + 2,  =  + ,  =


 3. Punkt  dzieli bok  trójkąta na odcinki i ,  dla których . Punkt dzieli bok  na odcinki i tak, że. Wykaż - korzystając z działań na wektorach - że    i wyznacz długość odcinkaw zależności od długości odcinka

Odp.