1. Strona główna
  2. Baza wiedzy

Baza wiedzy

Zbiór informacji z matematyki oraz fizyki przygotowany przez Szkołę Maturzystów

Wybrane przekształcenia płaszczyzny

Definicja 1
Przekształceniem geometrycznym P płaszczyzny nazywamy takie odwzorowanie, w którym każdemu punktowi A płaszczyzny przyporządkowujemy tylko jeden punkt A1 na tej płaszczyźnie. Punkt A1 nazywamy obrazem punktu A w tym przekształceniu i zapisujemy .
Jeśli obrazem punktu A w danym przekształceniu P jest ten sam punkt A, P(A)=A, to nazywamy go punktem stałym przekształcenia P. Jeśli w danym przekształceniu każdy punkt jest punktem stałym, to mówimy wtedy o przekształceniu tożsamościowym.
Definicja 2
 Izometrią nazywamy takie przekształcenie P płaszczyzny, w którym odległość między dowolnymi punktami A, B tej płaszczyzny jest taka sama jak odległość między ich obrazami tzn. |AB| = |P(A)P(B)|.
Definicja 3
Przesunięciem równoległym (translacją) o dany wektor nazywamy takie przekształcenie geometryczne, w którym każdemu punktowi A przyporządkowujemy taki punkt , że  = . Przesunięcie o wektor  oznaczamy  .
Twierdzenie 1
 Przesunięcie równoległe jest izometrią.
Założenie:
A, B to dowolne punkty na płaszczyźnie
 – przesunięcie równoległe o wektor
(A),   (B)
Teza:

Dowód:
Wektor  możemy przedstawić w postaci sumy:
     
Z definicji przesunięcia równoległego otrzymujemy:
   , zatem    i  
Zatem:
 =         
Ponieważ , to  co kończy dowód.
Definicja 4
Symetrią osiową względem prostej l nazywamy takie przekształcenie geometryczne, które każdemu punktowi A płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt A1, że   , gdzie L jest punktem wspólnym prostej l oraz prostej prostopadłej do prostej l i przechodzącej przez punkt A. Symetrię osiową względem prostej l będziemy oznaczać .
Jeśli punkt A nie należy do prostej l, to:
  • Punkt A i jego obraz znajdują się na prostej prostopadłej do prostej l.
  • Punkt A i jego obraz znajdują się po przeciwnych stronach prostej l.
  • Punkt A i jego obraz znajdują się w jednakowych odległościach od prostej l.
Twierdzenie 2
Symetria osiowa jest izometrią.
Twierdzenie 3
W symetrii osiowej względem prostej l zbiorem punktów stałych tego przekształcenia jest prosta l.

Przykład 1

Rysunek dwóch figur F i  w symetrii względem prostej l.

Definicja 5
 Osią symetrii figury F nazywamy prostą l wtedy, gdy (tzn. obrazem figury F w symetrii względem prostej l jest ta sama figura F). O figurze F mówimy wtedy, że jest figurą osiowosymetryczną.
Przykłady figur osiowosymetrycznych:
  • Trapez równoramienny,
  • Odcinek,
  • Trójkąt równoboczny,
  • Kwadrat,
  • Okrąg.
Przykłady figur niebędących osiowosymetryczne:
  • Trójkąt różnoboczny,
  • Trapez prostokątny niebędący prostokątem,
  • Równoległobok niebędący prostokątem ani rombem.
Definicja 6
Symetrią środkową względem punktu O nazywamy takie przekształcenie geometryczne, że obrazem dowolnego punktu A jest punkt A1, dla którego  . Punkt O nazywamy środkiem symetrii. Symetrię środkową względem punktu O oznaczamy .
Twierdzenie 4
Symetria środkowa jest izometrią.
Twierdzenie 5
Jedynym punktem stałym symetrii środkowej jest środek tej symetrii.

Przykład 2

Trójkąt ABC i  będący przekształceniem trójkąta ABC przez symetrie względem punktu O. 

Definicja 7
Środkiem symetrii figury F nazywamy punkt O wtedy, gdy  (tzn. obrazem figury F w symetrii środkowej jest ta sama figura F). O figurze F mówimy wtedy, że jest figurą środkowosymetryczną.
Przykłady figur środkowosymetrycznych:
  • odcinek (środkiem symetrii jest środek odcinka),
  • kwadrat, prostokąt, równoległobok (środkiem symetrii jest punkt przecięcia przekątnych),
  • koło(środkiem symetrii jest środek koła),
  • prosta(środkiem symetrii jest każdy punkt tej prostej).
Definicja 8 
Niech na płaszczyźnie dane będą dwie przecinające się proste k i l. Rzutem równoległym na prostą l w kierunku prostej k nazywamy przekształcenie geometryczne, które każdemu punktowi A płaszczyzny przyporządkowuje taki punkt A1 prostej l, że punkty A i A1 leżą na prostej równoległej do prostej k. Prostą k nazywamy kierunkiem rzutowania, a prostą l – rzutnią.

Rzut prostokątny to rzut, w którym kierunek rzutowania jest prostopadły do rzutni.

Przykład 3

Rysunek przedstawia figurę F i jej obraz  w rzucie prostokątnym na prostą k.

Definicja 9
Powinowactwem prostokątnym o osi l i skali k, k ≠ 0, nazywamy przekształcenie geometryczne, w którym obrazem dowolnego punktu A jest punkt A1 określony następująco , gdzie P jest rzutem prostokątnym punktu A na prostą l.
Twierdzenie 6
W powinowactwie prostokątnym obrazem prostej jest prosta.


Zadania do zrobienia

1. Wykaż, że jeśli wykonamy kolejno dwa przesunięcia równoległe: najpierw o wektor , a następnie o wektor , to te dwa przekształcenia możemy zastąpić jednym przesunięciem równoległym o wektor  .

 Odp. niech  będzie dowolnym punktem płaszczyzny. Oznaczamy:  (A) = ,  () = , wówczas  =  oraz  = . Mamy  =  +  =  + , więc  =  (A)

 

2. Na płaszczyźnie wyróżnione są dwa punkty i . Rozpatrujemy przekształcenie geometryczne, które dowolnemu punktowi  tej płaszczyzny przyporządkowuje punkt , w taki sposób, że  = . Wykaż, że rozpatrywane przekształcenie jest przesunięciem równoległym o wektor .

 Odp. wskazówka:  =  +

 

3. Prostokąt przesunięto równolegle o wektor , gdzie punkt  jest punktem przecięcia przekątnych tego prostokąta i otrzymano prostokąt .

a) Narysuj obydwa prostokąty.

b) Wykaż, że część wspólna tych prostokątów też jest prostokątem.

c) Czy suma prostokątów ABCD i   jest figurą środkowosymetryczną. Jeśli tak, wskaż środek symetrii.

d) Czy suma prostokątów ABCD i   jest figurą osiowosymetryczną. Jeśli tak, wskaż oś symetrii.

 Odp.      c) tak

                d) nie

 

4. Rzuty prostokątne odcinka  na proste  oraz l, które są prostopadłe, mają odpowiednio długość  i . Oblicz długość odcinka .

Odp.

 

5. Jak jest położona prosta m względem prostej  jeśli obraz  prostej m w powinowactwie prostokątnym o osi  i skali i :

a) jest równoległy do prostej m i nie pokrywa się z prostą

b) pokrywa się z prostą ?

 Odp.      a)

                b) lub prosta  pokrywa się z prostą/

 

6. Jaka figura jest obrazem kwadratu w pewnym powinowactwie prostokątnym o skali  i , jeśli oś tego powinowactwa:

a) jest równoległa do boku tego kwadratu

b) jest równoległa do przekątnej kwadratu

c) nie jest równoległa do żadnego boku kwadratu ani do żadnej przekątnej?

 Odp.      a) prostokąt

                b) romb

                c) równoległobok