Twierdzenie Talesa
Twierdzenie 1 (Talesa)
Jeżeli ramiona kąta (lub ich przedłużenia) przetniemy dwiema prostymi równoległymi, to stosunek długości odcinków wyciętych przez te proste na jednym ramieniu kąta ( lub na jego przedłużeniu) jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków wyciętych na drugim ramieniu kąta (lub na jego przedłużeniu).
Jeżeli ramiona kąta (lub ich przedłużenia) przetniemy dwiema prostymi równoległymi, to stosunek długości odcinków wyciętych przez te proste na jednym ramieniu kąta ( lub na jego przedłużeniu) jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków wyciętych na drugim ramieniu kąta (lub na jego przedłużeniu).
Założenie: ∢
, proste 
i 
są położone jak na rysunku oraz są równoległe
Teza:
i 
Dowód:
W celu wykazania prawdziwości tego twierdzenia skorzystamy własności działań na wektorach. Punkty O,A,B leżą na jednej prostej, więc
dla pewnej liczby rzeczywistej k, k≠0.
Punkty O,
leżą na jednej prostej, więc 
dla pewnej liczby rzeczywistej l, l≠0.
Proste i są z założenia równoległe
zatem 
, dla pewnej liczby
rzeczywistej m, m≠0.
Mamy:
Z drugiej strony:
Przyrównujemy prawe strony równości (1) i (2)
Po uporządkowaniu otrzymujemy:
Zauważmy, że wektory
i 
są niezerowe i nierównoległe, zatem równość
(3) zachodzi tylko wtedy, gdy wektory 
i 
będą zerowe, z czego rodzi się wniosek:
Stąd otrzymujemy, że dla pewnej liczby rzeczywistej k, k≠0,
oraz
- w przypadku a) lub
- w przypadku b)
Dla przypadku a) mamy:
Podobnie postępujemy z drugą równością oraz w przypadku b).
, proste i są położone jak na rysunku oraz są równoległeTeza:
i Dowód:
W celu wykazania prawdziwości tego twierdzenia skorzystamy własności działań na wektorach. Punkty O,A,B leżą na jednej prostej, więc
dla pewnej liczby rzeczywistej k, k≠0.Punkty O,
leżą na jednej prostej, więc dla pewnej liczby rzeczywistej l, l≠0.Proste
i są z założenia równoległe
zatem , dla pewnej liczby
rzeczywistej m, m≠0.Mamy:
Z drugiej strony:
Przyrównujemy prawe strony równości (1) i (2)
Po uporządkowaniu otrzymujemy:
Zauważmy, że wektory
i są niezerowe i nierównoległe, zatem równość
(3) zachodzi tylko wtedy, gdy wektory i będą zerowe, z czego rodzi się wniosek:Stąd otrzymujemy, że dla pewnej liczby rzeczywistej k, k≠0,
oraz - w przypadku a) lub - w przypadku b)Dla przypadku a) mamy:
Podobnie postępujemy z drugą równością oraz w przypadku b).
Przykład 1
Oblicz x, wykorzystując dane z rysunku i wiedząc, że proste AC i BD są równoległe.
, czyli 
, czyli 
Twierdzenie 2
Jeśli ramiona kąta (lub ich przedłużenia) przetniemy dwiema prostymi i stosunek długości odcinków wyciętych przez te proste na jednym ramieniu kąta ( lub na jego przedłużeniu) będzie równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków wyciętych na drugim ramieniu kąta (lub na jego przedłużeniu), to te proste są równoległe.
Jeśli ramiona kąta (lub ich przedłużenia) przetniemy dwiema prostymi i stosunek długości odcinków wyciętych przez te proste na jednym ramieniu kąta ( lub na jego przedłużeniu) będzie równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków wyciętych na drugim ramieniu kąta (lub na jego przedłużeniu), to te proste są równoległe.
Zadania do zrobienia
1. Na rysunkach poniżej proste 
i 
są
równoległe. Oblicz 
.
a)
b)
Odp. a)
b)
2. Czy na rysunku poniżej proste 
i są równoległe? Odpowiedź uzasadnij.
a)
b)
Odp. a) tak
b) tak
3. Dane są odcinki, których długości są
równe i 
. Skonstruuj odcinek,
którego długość będzie równa:
a) 
b)