1. Strona główna
  2. Baza wiedzy

Baza wiedzy

Zbiór informacji z matematyki oraz fizyki przygotowany przez Szkołę Maturzystów

Twierdzenie Talesa

Twierdzenie 1 (Talesa)
Jeżeli ramiona kąta (lub ich przedłużenia) przetniemy dwiema prostymi równoległymi, to stosunek długości odcinków wyciętych przez te proste na jednym ramieniu kąta ( lub na jego przedłużeniu) jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków wyciętych na drugim ramieniu kąta (lub na jego przedłużeniu).

Założenie: ∢, proste  i  są położone jak na rysunku oraz są równoległe
Teza:  i

Dowód:
W celu wykazania prawdziwości tego twierdzenia skorzystamy  własności działań na wektorach. Punkty O,A,B leżą na jednej prostej, więc
  dla pewnej liczby rzeczywistej k, k≠0.
Punkty O, leżą na jednej prostej, więc  dla pewnej liczby rzeczywistej l, l≠0.
Proste  i są z założenia równoległe zatem , dla pewnej liczby rzeczywistej m, m≠0.

Mamy:


Z drugiej strony:
       

Przyrównujemy prawe strony równości (1) i (2)


Po uporządkowaniu otrzymujemy:


Zauważmy, że wektory    i  są niezerowe i nierównoległe, zatem równość (3) zachodzi tylko wtedy, gdy wektory  i  będą zerowe, z czego rodzi się wniosek:

Stąd otrzymujemy, że dla pewnej liczby rzeczywistej k, k≠0,
 oraz
 - w przypadku a) lub
 - w przypadku b)
Dla przypadku a) mamy:
       

Podobnie postępujemy z drugą równością oraz w przypadku b).

Przykład  1

Oblicz x, wykorzystując dane z rysunku i wiedząc, że proste AC i BD są równoległe.

 

 

   , czyli   

 

   , czyli   


Twierdzenie 2
Jeśli ramiona kąta (lub ich przedłużenia) przetniemy dwiema prostymi  i stosunek długości odcinków wyciętych przez te proste na jednym ramieniu kąta ( lub na jego przedłużeniu) będzie równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków wyciętych na drugim ramieniu kąta (lub na jego przedłużeniu), to te proste są równoległe.


Zadania do zrobienia

1. Na rysunkach poniżej proste  i  są równoległe. Oblicz .

 a)

 

b)

 

Odp.      a)

                b)

 

2. Czy na rysunku poniżej proste i  są równoległe? Odpowiedź uzasadnij.

a)  

b)

Odp.      a) tak

                b) tak

 

3. Dane są odcinki, których długości są równe  i  . Skonstruuj odcinek, którego długość będzie równa:

a)

b)