1. Strona główna
  2. Baza wiedzy

Baza wiedzy

Zbiór informacji z matematyki oraz fizyki przygotowany przez Szkołę Maturzystów

Okrąg i koło

Definicja 1
Okręgiem o środku O i promieniu r, r> 0, nazywamy zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, których odległość od punktu O jest równa r. Taki okrąg oznaczamy o(O,r).
Promień okręgu to odcinek ( i jego długość) łączący środek tego okręgu z dowolnym punktem tego okręgu. Okrąg o promieniu r ma długość 2πr.
Łuk okręgu to część okręgu wyznaczona przez dwa punkty okręgu wraz z tymi punktami. Zwróćmy uwagę, że dwa punkty wyznaczają jednocześnie dwa łuki.
Cięciwa okręgu to odcinek, który łączy dwa dowolne punkty okręgu . Cięciwa, która przechodzi przez środek okręgu jest jego średnicą.

Twierdzenie 1
Jeśli promień jest prostopadły do cięciwy, to dzieli tę cięciwę na dwa odcinki mające tę samą długość.
Odległość środka okręgu od cięciwy to długość odcinka łączącego środek okręgu ze środkiem cięciwy.
Wzajemne położenie prostej i okręgu:
  • Prosta ma tylko jeden punkt wspólny z okręgiem.
  • Prosta ma dwa punkty wspólne z okręgiem.
  • Prosta nie ma punktów wspólnych z okręgiem.
Definicja 2
Prostą, która ma tylko jeden punkt wspólny z okręgiem, nazywamy styczną do okręgu w tym punkcie ( zwanym punktem styczności prostej i okręgu).
Twierdzenie 2
Prosta jest styczną do okręgu wtedy i tylko wtedy, gdy promień poprowadzony do punktu wspólnego prostej i okręgu jest prostopadły do prostej.

Z punktu znajdującego się na okręgu można poprowadzić tylko jedną styczną do okręgu. Z punktu oddalonego od okręgu o ponad długość promienia można poprowadzić dwie styczne do okręgu. Jeśli odległość punktu jest  mniejsza niż długość promienia to nie da się poprowadzić żadnej stycznej.
Twierdzenie 3
Prosta jest styczną do okręgu wtedy i tylko wtedy, gdy odległość środka okręgu od tej prostej jest równa promieniowi.

Twierdzenie 4 (o odcinkach stycznych)
Odcinki dwóch stycznych poprowadzonych do okręgu z punktu, którego odległość od środka okręgu jest większa niż promień – wyznaczone przez  ten punkt i odpowiednie punkty styczności – mają tą samą długość.

Definicja 3
Sieczną okręgu nazywamy prostą, która ma dwa punkty wspólne z danym okręgiem.
Twierdzenie 5
Prosta jest sieczną okręgu wtedy i tylko wtedy, gdy odległość środka okręgu od tej prostej jest mniejsza od promienia okręgu.

Mówimy, że prosta jest rozłączna z okręgiem, kiedy nie ma z nim żadnych punktów wspólnych.
Twierdzenie 6
Prosta jest rozłączna z okręgiem wtedy i tylko wtedy, gdy odległość środka okręgu od tej prostej jest większa od promienia okręgu.

Wzajemne położenie dwóch okręgów:
  • Rozłączne zewnętrznie,
  • Styczne zewnętrznie,
  • Przecinające się,
  • Styczne wewnętrznie,
  • Rozłączne wewnętrznie.
Twierdzenie 7
Okręgi  i  są rozłączne zewnętrznie wtedy i tylko wtedy, gdy .

Okręgi nie mają wtedy żadnych punktów wspólnych.
Twierdzenie 8
Okręgi   i   są styczne zewnętrznie wtedy i tylko wtedy, gdy .

Okręgi mają wtedy jeden punkt wspólny.
Twierdzenie 9
Okręgi   i   przecinają się wtedy i tylko wtedy, gdy .

Okręgi mają wtedy dokładnie dwa punkty wspólne.
Twierdzenie 10
 Okręgi   i   są styczne wewnętrznie wtedy i tylko wtedy, gdy .

Okręgi mają wtedy jeden punkt wspólny i jeden z okręgów znajduje się w drugim.
Twierdzenie 11
Okręgi   i   są rozłączne wewnętrznie wtedy i tylko wtedy, gdy

Okręgi nie mają wtedy żadnych punktów wspólnych i jeden okrąg znajduje się w drugim.
Okręgi współśrodkowe to okręgi mające wspólny środek. Jeśli te okręgi mają jednakowe promienie to się pokrywają.

Przykład 1

Dwa okręgi   i   są styczne zewnętrznie do siebie i wewnętrznie do okręgu   Oblicz promień największego okręgu, wiedząc, że obwód trójkąta jest równy 12 cm.

 

Wiemy, że  . Oprócz tego:

, bo okręgi są styczne zewnętrznie

, bo okręgi są styczne wewnętrznie

,  bo okręgi są styczne wewnętrznie

Zatem:

Odp. Promień największego okręgu ma długość 6 cm.



Zadania do zrobienia


1. W kole poprowadzono średnicę  i cięciwę . Wiedząc, że  i , oblicz odległość cięciwy od środka koła.

 Odp.

 

2. Dwa okręgi są styczne zewnętrznie. Odległość między ich środkami wynosi . Wyznacz  promienie tych okręgów, wiedząc, że:

a) jeden z nich jest o dłuższy od drugiego

b) jeden z nich jest trzy razy dłuższy od drugiego

 Odp.      a)

                b)

 

3. Promienie dwóch okręgów  i  są równe odpowiednio:   i . Gdyby te okręgi były styczne zewnętrznie, to odległość między ich środkami wynosiłaby ; a gdyby te okręgi były styczne wewnętrznie, to odległość między ich środkami byłaby równa . Oblicz promienie tych okręgów.

 Odp.

 

4. Dane są takie dwa okręgi  że:

a)  ,  ,  

b)  ,  ,

 

Odp.      a) ; stąd  +); jeśli  , 1), to okręgi są rozłączne wewnętrzenie; jeśli , to okręgi są styczne wewnętrznie; jeśli   to okręgi się przecinają; jeśli , to okręgi są styczne zewnętrznie; jeśli  (5, +), to okręgi są rozłączne zewnętrznie.

                b)   0 i   0, stąd ; jeśli, to okręgi są styczne wewnętrznie; jeśli  ∈ (-1, 1) ∪ (3, 5), to okręgi są rozłączne wewnętrznie; jeśli , to okręgi się przecinają.