Kąty i koła

Definicja 1
Kołem o środku w punkcie O i promieniu r, r>0, nazywamy zbiór wszystkich punktów płaszczyzny których odległość od punktu O jest mniejsza od r lub równa r. Takie koło oznaczamy symbolem k(O,r).

Definicja 2
Kątem wpisanym w koło nazywamy kąt wypukły, wyznaczony przez dwie półproste zawierające cięciwy o wspólnym końcu, będącym wierzchołkiem kąta.

Definicja 3
Kątem środkowym koła nazywamy kąt, którego wierzchołek znajduje się w środku koła.

Miara kąta środkowego jest wprost proporcjonalna do długości łuku, na którym oparty jest ten kąt.

Kąt środkowy wypukły

Kąt środkowy wklęsły

Przykład 1

Cztery punkty podzieliły okrąg na cztery łuki, których długości pozostają w stosunku 3:6:12:15 . Oblicz miary kątów środkowych opartych na tych łukach.

Nazwijmy te kąty środkowe kolejno α,β,γ i δ. Wiemy, że one również są do siebie w stosunku 3:6:12:15. Ich miary możemy przedstawić w postaci 3x,6x, 12x i 15x, gdzie x oznacza miarę pewnego kąta. Suma tych kątów jest kątem pełnym zatem:

, zatem:

Twierdzenie 1
Jeżeli kąt wpisany i kąt środkowy są oparte na tym samym łuku, to kąt środkowy jest dwa razy większy od kąta wpisanego.

Spróbujmy udowodnić to twierdzenie. Podzielimy je na trzy przypadki.
I przypadek:

Założenie:
Niech kąty: wpisany CBA i środkowy COA, oparte na łuku AC, będą położone tak jak na rysunku.

AB – średnica okręgu, O – środek okręgu
Teza:

Dowód:
Trójkąt BCO jest trójkątem równoramiennym, ponieważ

. Zatem:

, więc

Kąt COA jest przyległy do kąta COB, stąd

, co kończy tą część dowodu.

II przypadek:

Założenie:
Niech kąty : wpisany CBA i środkowy COA, oparty na łuku AC, będą położone tak jak na rysunku.

BD – średnica okręgu niezawierająca się w żadnym z kątów

Teza:

Dowód:
Na mocy pierwszego przypadku otrzymujemy:

– dla kątów COD i CBD opartych na łuku CD

– dla kątów DOA i DBA opartych na łuku DA, zatem

więc

, co kończy tą część dowodu.
III przypadek:

Założenie:
Niech kąty : wpisany CBA i środkowy COA, oparty na łuku AC, będą położone tak jak na rysunku.

BD – średnica okręgu niezawierająca się w żadnym z kątów

Teza:

Dowód:
Na mocy pierwszego przypadku otrzymujemy:

– dla kątów AOD i ABD opartych na łuku AD

– dla kątów COD i CBD opartych na łuku CD, zatem

, więc

, co kończy tą część dowodu.
Rozpatrzyliśmy już wszystkie możliwe przypadki, co oznacza, że całe twierdzenie jest już udowodnione.

Twierdzenie 2
Kąt wpisany oparty na półokręgu jest kątem prostym.

Twierdzenie 3
Kąty wpisane, oparte na tym samym łuku są równe.

Przykład 2

Wyznacz miary kątów oznaczonych na rysunku.

bo oparty na półokręgu

Kąt α jest kątem wpisanym w koło, opartym na tym samym łuku co kąt środkowy o mierze 120°. Zatem:

bo jest kątem przyległym do ∢COB

Suma miar kątów w trójkącie jest równa 180°, zatem:

, czyli

Korzystające z tej samej własności dla trójkąta ABC:

, czyli .

Odp. α=60°, β=30°, γ=60°.

Definicja 4
Kątem dopisanym do okręgu w punkcie A należącym do okręgu nazywamy kąt wypukły, wyznaczony przez styczną do okręgu w punkcie A oraz półprostą zawierającą cięciwę o końcu w punkcie A.

Twierdzenie 4
Kąty dopisany i wpisany, oparte na tym samym łuku są równe.

Zadania do zrobienia

1. Dany jest okrąg o środku w punkcie . Korzystając z danych na rysunku, wyznacz miary kątów trójkąta .

Odp. , ,

2. Dany jest okrąg o środku w punkcie . Korzystając z danych na rysunku, oblicz .

Odp.

3. Punkty dzielą okrąg na trzy łuki, których stosunek długości wynosi . Oblicz miary kątów trójkąta