1. Strona główna
  2. Baza wiedzy

Baza wiedzy

Zbiór informacji z matematyki oraz fizyki przygotowany przez Szkołę Maturzystów

Podział trójkątów. Suma kątów w trójkącie. Nierówność trójkąta. Odcinek łączący środki dwóch boków w trójkącie.

Definicja 1
 Trójkąt to wielokąt mający trzy boki.

Suma długości boków trójkąta jest jego obwodem.
Twierdzenie 1
 Suma kątów w dowolnym trójkącie jest równa 180°.
Podział trójkątów ze względu na kąty:
  • Ostrokątne,
  • Prostokątne,
  • Rozwartokątne.
Podział trójkątów ze względu na boki:
  • Różnoboczne,
  • Równoramienne i równoboczne.

Przykład 1

  1. Trójkąt prostokątny
  2. Trójkąt równoboczny
  3. Trójkąt równoramienny
  4. Trójkąt różnoboczny i rozwartokątny
W trójkącie jeden z boków nazywamy podstawą, a pozostałe dwa ramionami. W trójkącie równoramiennym, ramionami nazywamy boki tej samej długości. Kąty przy podstawie są w nim równe. W trójkącie równobocznym wszystkie boki mają tą samą długość, a wszystkie kąty mają miarę 60°.
W trójkącie prostokątnym boki zawarte w ramionach kąta prostego to przyprostokątne, a trzeci bok nazywamy przeciwprostokątną.

Przykład 2

Wyznacz miary kątów w trójkącie wiedząc, że pozostają w stosunku 2:3:4.

Oznaczmy sobie miary kątów przez 2x, 3x i 4x, gdzie x jest miarą pewnego kąta.

Korzystając z tego, że suma miar kątów w każdym trójkącie wynosi 180° otrzymujemy:
180°=2x+3x+4x

x=20°, czyli 2x=40°, 3x=60° i 4x=80°.

Twierdzenie 2
 W dowolnym trójkącie długość każdego boku jest mniejsza od sumy długości dwóch pozostałych boków i większa od wartości bezwzględnej różnicy długości tych boków.
W przypadku gdy znamy długość najdłuższego boku, wystarczy sprawdzić czy suma długości  krótszych odcinków jest większa od jego długości.
Twierdzenie 3
Jeśli w trójkącie połączymy środki dwóch boków, to powstały odcinek jest równoległy do boku trzeciego i jego długość jest równa połowie długości boku trzeciego.
Twierdzenie to można łatwo udowodnić korzystając z poprzedniego twierdzenia i twierdzenia Talesa.

Przykład 3

Oblicz obwód trójkąta równoramiennego ABC, wiedząc, że odcinek DE jest odcinkiem łączącym środki boków.

Skoro DE jest odcinkiem łączącym środki boków tzn że |AB|= 2|DE|=16.

|AC|=|BC|=2|DC|=2|CE|= 10

Zatem obwód:

Obw= 10+ 10+16=36

Odp. Obwód trójkąta ABC jest równy 36.


Zadania do zrobienia

1. Stosunek dwóch kątów w trójkącie wynosi , a trzeci kąt jest większy od najmniejszego o . Wyznacz kąty trójkąta.

Odp. , ,

 

2. Oblicz miary kątów trójkąta prostokątnego, w którym jeden z kątów ostrych jest o  większy od drugiego.

Odp. ,

 

3. Znajdź kąty trójkąta równoramiennego, w którym kąt przy podstawie jest pięć razy mniejszy od przyległego do niego kąta zewnętrznego.

Odp. , ,

 

4. Dany jest trójkąt równoramienny o podstawie . Ramię  przedłużono na zewnątrz trójkąta o odległości i punkt  połączono z punktem . Oblicz długość  jeżeli obwód trójkąta  wynosi , a obwód trójkąta  wynosi.

Odp.

 

5. Obwód trójkąta  wynosi . Połączono środki boków tego trójkąta i otrzymano trójkąt . Oblicz obwód tego trójkąta.

Odp.

 

6. Dany jest kąt ostry o wierzchołku  i punkt  leżący na ramieniu tego kąta,  Przez punkt poprowadzono dwie proste: prostą prostopadłą do ramienia , która przecięła drugie ramię kąta w punkcie , oraz prostą , prostopadłą do drugiego ramienia, która przecięła to ramię w punkcie . Dwusieczna kąta ostrego  przecięła odcinek w punkcie . Wykaż, że .

 Odp. wskazówka: zauważ, że