1. Strona główna
  2. Baza wiedzy

Baza wiedzy

Zbiór informacji z matematyki oraz fizyki przygotowany przez Szkołę Maturzystów

Wysokości w trójkącie. Środkowe w trójkącie

Definicja  1
Wysokością trójkąta nazywamy odcinek (a także jego długość) łączący wierzchołek trójkąta z przeciwległym bokiem ( lub jego przedłużeniem), prostopadły do tego boku (lub jego przedłużenia).
Każdy trójkąt ma trzy wysokości.
Twierdzenie 1
W dowolnym trójkącie wysokości lub ich przedłużenia przecinają się w jednym punkcie.
Punkt ten leży wewnątrz figury w trójkącie ostrokątnym. W prostokątnym jest nim wierzchołek kąta prostego. W trójkącie rozwartokątnym punkt ten leży poza trójkątem.
Spodkiem wysokości nazywamy punkt wspólny wysokości i boku trójkąta(lub jego przedłużenia), na który opada wysokość.

Cechy wysokości w wybranych trójkątach:
a)  trójkąt równoramienny
  • Wysokość poprowadzona na podstawę dzieli ją na połowy.
b) trójkąt równoboczny
  • Wszystkie wysokości są równe .
  • Wysokość można wyrazić wzorem:
.

c) trójkąt prostokątny
  • Wysokość wychodząca z wierzchołka kąta prostego, dzieli przeciwprostokątną na odcinki mające długość c1 i c2, dla których zachodzi zależność  .
Spróbujmy dowieść tą własność.

Z twierdzenia Pitagorasa w trójkątach ABC, DBC i ADC otrzymujemy:



Otrzymujemy:


Wiemy, że c=c1+c2, zatem:



, bo h> 0, co kończy dowód.
Definicja  2
Środkową trójkąta nazywamy odcinek łączący wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego boku.

Każdy trójkąt ma trzy środkowe.
Twierdzenie 2
W dowolnym trójkącie trzy środkowe przecinają się  w jednym punkcie, który dzieli każdą z nich w stosunku 1:2.
Środkiem ciężkości trójkąta nazywamy punkt przecięcia środkowych.

Cechy środkowych w wybranych trójkątach:
a) trójkąt równoramienny
  • Środkowa poprowadzona do podstawy jest też wysokością.
b) trójkąt równoboczny
  • Środkowe i wysokości się pokrywają. Stąd wniosek, że wysokości również dzielą się w stosunku 1:2.
c) trójkąt prostokątny
  • Środkowa wychodząca z wierzchołka kąta prostego ma długość połowy długości przeciwprostokątnej.

Przykład  1

W trójkącie równoramiennym ABC, podstawa AB ma długość 8cm, a środkowa CD ma długość 18cm. Oblicz długość środkowej AE.

 

W trójkącie ABC środkowa CD jest  jednocześnie wysokością poprowadzoną na podstawę AB, a punkt D dzieli tę podstawę na połowy:

Punkt O przecięcia środkowych AE i CD dzieli je w stosunku 1:2.

, stąd , czyli .

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta ADO, wyznaczamy długość odcinka AO:

, zatem

Obliczamy długość środkowej AE:

 oraz , zatem

Odp. Środkowa AE ma długość .


Zadania do zrobienia


1. Oblicz długość boku trójkąta równobocznego, którego wysokość ma długość

 Odp.

 

2. W trójkącie prostokątnym poprowadzono wysokość z wierzchołka kąta prostego. Spodek wysokości podzielił przeciwprostokątną na odcinki długości a i b. Oblicz tę wysokość, jeśli ;  

 Odp.

 

3. W trójkącie boki mają długość: .

a) Sprawdź, czy ten trójkąt jest ostrokątny, prostokątny czy rozwartokątny

b) Oblicz wysokość poprowadzoną na najdłuższy bok.

 Odp.      a) ostrokątny

                b)

 

4. W trójkącie równoramiennym podstawa ma długość . Środek ciężkości tego trójkąta znajduje się w odległości  od podstawy. Oblicz obwód danego trójkąta.

 Odp.


5. W trójkącie równoramiennym wysokość opuszczona na podstawę jest równa odcinkowi, który łączy środek podstawy ze środkiem ramienia. Podstawa trójkąta jest równa . Wyznacz wysokość opuszczoną na podstawę.

Odp.