1. Strona główna
  2. Baza wiedzy

Baza wiedzy

Zbiór informacji z matematyki oraz fizyki przygotowany przez Szkołę Maturzystów

Symetralne boków trójkąta. Okrąg opisany na trójkącie

Twierdzenie 1
Symetralne trzech boków dowolnego trójkąta przecinają się w jednym punkcie.
Punkt przecięcia symetralnych jest środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie. Zatem na każdym trójkącie można opisać okrąg. W trójkącie ostrokątnym, środek okręgu leży w środku trójkąta, w trójkącie prostokątnym – na przeciwprostokątnej i dzieli bok na połowy, a w rozwartokątnym – poza trójkątem. W trójkącie równoramiennym środek ten leży na prostej zawierającej wysokość poprowadzoną na podstawę. Natomiast w trójkącie równobocznym środek zawiera się w punkcie przecięcia wysokości.

Przykład  1

Oblicz długość promienia okręgu opisanego na poniższym trójkącie.

Zaczynamy od obliczenia długości odcinka |AD|. Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy:

, po wyliczeniu otrzymujemy:

Następnie obliczamy długość odcinka BD z wzoru na wysokość w trójkącie prostokątnym:

Z tego wynika, że przeciwprostokątna jest równa 30. Korzystamy ze wzoru:

Odp. Promień ma długość 15.



Zadania do zrobienia


1. W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długość  i . Oblicz stosunek długości odcinków, na jakie symetralna przeciwprostokątnej podzieliła dłuższą przyprostokątną tego trójkąta.

 Odp.

 

2. W trójkącie równoramiennym kąt przy wierzchołku jest równy . Symetralne boków trójkąta przecinają się w punkcie . Wiedząc, że , oblicz obwód trójkąta .

 Odp.

 

3. Oblicz promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym, którego bok ma długość

 Odp.

 

4. W trójkącie prostokątnym jedna z przyprostokątnych ma długość , a wysokość poprowadzona na przeciwprostokątną jest równa . Oblicz promień okręgu opisanego na tym trójkącie.

 Odp.

 

5. Dane są długości boków trójkąta równoramiennego:

a)

b)

Sprawdź, czy dany trójkąt jest ostrokątny, prostokątny czy rozwartokątny. Oblicz promień okręgu opisanego na tym trójkącie.

 Odp.      a) trójkąt ostrokątny;   

                b) trójkąt rozwartokątny;