1. Strona główna
  2. Baza wiedzy

Baza wiedzy

Zbiór informacji z matematyki oraz fizyki przygotowany przez Szkołę Maturzystów

Dwusieczne kątów trójkąta. Okrąg wpisany w trójkąt

Dwusieczna kąta w trójkącie to odcinek będący częścią wspólną trójkąta i dwusiecznej odpowiedniego kąta.
Twierdzenie 1 ( o podziale boku przez  dwusieczną kąta wewnętrznego trójkąta)
W dowolnym trójkącie ABC, w którym CD jest dwusieczną kąta wewnętrznego tego trójkąta, prawdziwa jest równość
   .

Założenie:
CD- dwusieczna kąta wewnętrznego tego trójkąta
Teza:


Dowód:
Przez wierzchołek B trójkąta prowadzimy prostą równoległą do dwusiecznej CD. Punkt  wspólny tej prostej i prostej AC oznaczamy przez E.
Z twierdzenia Talesa dla kąta EAB przeciętego prostymi równoległymi CD i EB otrzymujemy:

(1) 
Zwróćmy teraz uwagę, że:
 - z założenia CD jest dwusieczną kąta ACB,
 - miary kątów odpowiadających dla pary prostych równoległych CD i EB przeciętych prostą AE,
 - miary kątów naprzemianległych wewnętrznych dla pary prostych równoległych CB i EB przeciętych prostą AE
Z powyższych trzech równości wynika, że

Czyli trójkąt CBE jest trójkątem równoramiennym oraz

Jeśli weźmiemy to pod uwagę to z równości (1) otrzymamy

, co kończy dowód.

Przykład 1

Obwód trójkąta równoramiennego ABC jest równy 70cm. Dwusieczna kąta przy wierzchołku A dzieli ramię BC na odcinki CD i DB, dla których |CD| : |DB| = 3:4. Oblicz długości boków trójkąta  ABC.

Z pierwszego twierdzenia otrzymujemy

, czyli , skąd


Obliczamy długości boków:
, skąd .

Zatem boki mają długość 21cm, 21 cm i 28cm.

Twierdzenie 2( o dwusiecznej kąta zewnętrznego trójkąta)
W dowolnym trójkącie ABC, w którym CD jest dwusieczną kąta zewnętrznego ECB, prawdziwa jest równość
     .
Twierdzenie 3
W dowolnym trójkącie dwusieczne kątów przecinają się w jednym punkcie.
Punkt przecięcia się dwusiecznych w trójkącie to środek okręgu wpisanego w trójkąt.

Przykład 2

W trójkąt o bokach długości 14cm, 18cm i 20cm wpisano okrąg. Oblicz długość odcinków na jakie punkty styczności podzieliły boki tego trójkąta.

|AB| =20cm

|AC| = 14 cm

|BC| = 18 cm

Z twierdzenia o odcinkach stycznych wiemy, że:

,  ,

Wyznaczmy długość odcinka AB1:

Zatem

W ten sam sposób obliczamy pozostałe odcinki i otrzymujemy:

Odp. Punkty styczności podzieliły boki AB, BC i AC na odcinki o długości odpowiednio 8cm i 12cm,  12cm i 6cm, 6cm i 8 cm.

Okrąg wpisany w:
a) Trójkąt równoramienny
  • Dwusieczna kąta między ramionami zawiera się w wysokości opuszczonej na podstawę. Środek okręgu wpisanego w trójkąt leży na tej wysokości.
b) Trójkąt równoboczny
  • Dwusieczne kątów zawierają wysokości trójkąta. Środek okręgu jest w punkcie przecięcia się wysokości.
c) Trójkąt prostokątny
  • Gdy poprowadzimy promienie z trójkąta wpisanego do boków tego trójkąta to zauważymy, że punkty styczności podzieliły przyprostokątne a,b na odcinki (a-r)  i r oraz (b-r) i r, a przeciwprostokątną na (a-r) i (b-r).


Zadania do zrobienia

1. W trójkącie o kątach , ,  poprowadzono dwusieczne tych kątów. Oblicz miary kątów powstałych w ten sposób sześciu trójkątów.

Odp.      I) , ,

                II) , ,

                III) , ,

                IV) , ,

                V) , ,

                VI) , ,

 

2. Promień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny jest o  krótszy od promienia okręgu opisanego na tym trójkącie. Oblicz obwód tego trójkąta

Odp.

 

3. W trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości i  wpisano okrąg. Oblicz długości odcinków, na jakie punkty styczności podzieliły boki tego trójkąta

 Odp.

 

4. Oblicz promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny, którego przyprostokątne mają długość   i

Odp. ( - 1)

 

5. Oblicz promień okręgu wpisanego w trójkąt równoramienny, którego boki mają długość

Odp.