1. Strona główna
  2. Baza wiedzy

Baza wiedzy

Zbiór informacji z matematyki oraz fizyki przygotowany przez Szkołę Maturzystów

Przystawanie trójkątów

Figury przystające od razu rozumiemy jako takie same, które po nałożeniu na siebie, idealnie się pokryją. To oznacza, że istnieje taka izometria, w której obrazem jednej z tych figur będzie druga figura.
Definicja 1
Dwa trójkąty nazwiemy trójkątami przystającymi wtedy, gdy boki i kąty jednego z nich są równe odpowiednim bokom i kątom drugiego.
W celu sprawdzenia czy dwa trójkąty są podobne, wcale nie musimy sprawdzać wszystkich tych zależności. Wystarczy skorzystać z twierdzeń poniżej.
Twierdzenie 1 (I cecha przystawania trójkątów, bbb)
Jeżeli długości trzech boków w jednym trójkącie są odpowiednio równe długościom trzech boków w drugim trójkącie, to te trójkąty są przystające.
Twierdzenie 2 (II cecha przystawania trójkątów, bkb)
Jeżeli dwa boki i kąt między tymi bokami w jednym trójkącie są równe odpowiednio dwóm bokom i kątowi między tymi bokami w drugim trójkącie, to trójkąty te są przystające.
Należy pamiętać, że równe kąty muszą znajdować się pomiędzy odpowiednio równymi bokami, inaczej trójkąty nie będą przystające.
Twierdzenie 3 (III cecha przystawania trójkątów, kbk)
Jeżeli bok i dwa przyległe do niego kąty w jednym trójkącie są odpowiednio równe bokowi i dwóm przyległym do niego kątom w drugim trójkącie, to trójkąty te są przystające.
Cechy przystawania trójkątów wykorzystuje się do dowodzenia różnych twierdzeń geometrycznych.

Przykład 1

Wykaż, że dwusieczne kątów przy podstawie w trójkącie równoramiennym ABC mają równe długości.

Przyjrzyjmy się trójkątom ABE i ABD. Zauważamy, że AB jest ich wspólnym bokiem, a kąty EAB i ABD są sobie równe, ponieważ jak wiemy, kąty przy podstawie w trójkącie równoramiennym są sobie równe. Z tego wynika, że połówki tych kątów również są sobie równe. Korzystając z cechy przystawania trójkątów kbk, zauważamy że trójkąty ABE i ABD są przystające, zatem |AD|=|BE|, co kończy dowód.

Twierdzenie 4 (cecha przystawania trójkątów prostokątnych)
Jeśli przeciwprostokątna i przyprostokątna jednego trójkąta prostokątnego równają się odpowiednio przeciwprostokątnej i przyprostokątnej drugiego trójkąta prostokątnego, to trójkąty te są przystające.
Przyjmijmy, że:



Teza:
Trójkąty ABC i  są przystające.
Dowód:
Z twierdzenia Pitagorasa:
 
Z założenia mamy


Skoro odpowiednie boki są sobie równe to na mocy cechy przystawania trójkątów bbb, trójkąty ABC i  są przystające, co kończy dowód.

Przykład 2

Wskaż pary trójkątów przystających.

Trójkąty A, E i J są do siebie przystające, bo są prostokątne i mają przeciwprostokątną i odpowiednią przyprostokątną równej długości.

Trójkąty B i C są przystające bo mają wszystkie boki równej długości.

Trójkąty D i F są przystające bo mają dwa boki równej długości, a kąt pomiędzy tymi bokami ma taką samą miarę w obu trójkątach.



Zadania do zrobienia


1. Czy trójkąty w poniższych parach są przystające? Odpowiedź uzasadnij.

 

a)

 

b)

 

 

Odp.      a) tak

               b) nie

 

2. Udowodnij, że dwa trójkąty prostokątne są przystające, jeżeli przyprostokątna i przeciwległy jej kąt ostry jednego trójkąta równają się przyprostokątnej i przeciwległemu kątowi ostremu drugiego trójkąta

 

3. W trójkątach ABC i  poprowadzono środkowe  i . Wykaż, że jeżeli |BD| ||, |BC| | oraz |DBC| ||, to ABC  

Odp. wskazówka: wykaż, że DBC

 

4. Na bokach trójkąta równobocznego  zaznaczono punkty odpowiednio na bokach ,  i tak, że   . Wykaż, że trójkąt jest równoboczny oraz że boki tego trójkąta są prostopadłe do boków trójkąta .

Odp. wskazówka: wykaż, że        . Dla dowodu drugiej części wystarczy pokazać, że np.  jest prostokątny. W tym celu zauważ, że  = ,  i poprowadź środkową z wierzchołka.