1. Strona główna
  2. Baza wiedzy

Baza wiedzy

Zbiór informacji z matematyki oraz fizyki przygotowany przez Szkołę Maturzystów

Podobieństwo trójkątów

Figury podobne, to figury mające identyczny kształt, ale różną wielkość.
Definicja 1
Trójkąt  jest podobny do trójkąta ABC wtedy, gdy     oraz

Skalą podobieństwa k, nazywamy taką dodatnią liczbę , dla której prawdziwa jest równość
   .
W celu ustalenia, czy dwa trójkąty są podobne, nie musimy sprawdzać wszystkich własności wymienionych w definicji. Wystarczy, że skorzystamy z twierdzeń wymienionych poniżej.
Twierdzenie 1 (cecha bbb podobieństwa trójkątów)
Jeśli długości boków trójkąta    są proporcjonalne do odpowiednich długości boków trójkąta ABC, czyli
  , to te trójkąty są podobne.
Twierdzenie 2  (cecha bkb podobieństwa trójkątów)
Jeżeli długości dwóch boków trójkąta    są proporcjonalne do odpowiednich długości dwóch boków trójkąta ABC, czyli    ,oraz kąty między tymi bokami są równe, to trójkąty te są podobne.
Twierdzenie 3 (cecha kkk podobieństwa trójkątów)
Jeżeli dwa kąty trójkąta   są odpowiednio równe dwóm kątom trójkąta ABC, czyli    oraz , to trójkąty te są podobne.
Podobieństwo trójkątów wykorzystuje się do dowodzenia twierdzeń geometrycznych i wnioskowań dotyczących własności różnych figur.

Przykład 1

Trójkąt ABC ma boki długości 3,12,x. Trójkąt DEF ma boki długości 5,15,20. Wiedząc, że trójkąty są podobne oblicz obwód trójkąta ABC.

To zadanie można rozwiązać na dwa sposoby.

Zauważmy, że x musi być bokiem średnim co do długości. Zatem skala podobieństwa tych trójkątów jest równa  .

I sposób:

Liczymy obwód trójkąta DEF:

Wiemy że trójkąty są podobne zatem:

II sposób:

Korzystając z podobieństwa otrzymujemy równość:

  , skąd

Liczymy obwód:

Stąd rodzi się wniosek, że gdy trójkąty są podobne, to skala ich podobieństwa jest stosunkiem obwodów tych trójkątów.

Przykład 2

W trójkącie ABC, odcinek ED jest odcinkiem łączącym środki boków AC i BC. Wiedząc, że |AE|= 7cm i |ED|=3cm, oblicz długość boku BC.

Trójkąty ADE i ABC są podobne, bo odcinek ED jest z definicji równoległy do boku AB.

Bok AC ma długość 14 cm, zatem:

  , skąd .



Zadania do zrobienia


1. Boki trójkąta  mają długość: , , . Trójkąt  jest podobny do trójkąta  i jego obwód jest równy. Oblicz:

a) skale podobieństwa

b) długości boków trójkąta

Odp.      a)

                b) ||       ||                ||

 

2. W trójkącie prostokątnym  przyprostokątne mają długość ,. Trójkąt  jest podobny do trójkąta  a || . Oblicz długości pozostałych boków trójkąta

Odp. ||, ||

 

3. W trójkącie równoramiennym , , wysokość podzieliła ramię  na odcinki długości  i . Oblicz długość podstawy .

Odp.  cm

 

4. W trójkącie prostokątnym  przyprostokątne mają długość:  i . Punkt dzieli bok  w stosunku . Punktnależy do boku i odcinek  jest prostopadły do boku . Oblicz .

Odp.