Twierdzenie o stycznej i siecznej
Twierdzenie 1
Jeżeli przez punkt P, którego odległość od środka danego okręgu jest większa niż promień, poprowadzimy styczną do okręgu w punkcie A i sieczną przecinającą okrąg w punktach B i C, to
Jeżeli przez punkt P, którego odległość od środka danego okręgu jest większa niż promień, poprowadzimy styczną do okręgu w punkcie A i sieczną przecinającą okrąg w punktach B i C, to
Załóżmy, że:
Dany jest okrąg o(O,r), gdzie |OP|>r i A jest punktem styczności, a B i C to punkty wspólne prostej przechodzącej przez punkt P i okręgu
Teza:
Dowód:
Przyjrzyjmy się trójkątom APB i APC. Otrzymujemy:
, bo kąt wpisany BCA ma taką samą miarę jak
kąt dopisany PAB, oparty na tym samym łuku
Kąt APB jest wspólnym kątem trójkątów APB i APC, zatem na mocy cechy kkk podobieństwa trójkątów, trójkąty te są podobne.
Zatem:
, skąd 
co kończy dowód.
Dany jest okrąg o(O,r), gdzie |OP|>r i A jest punktem styczności, a B i C to punkty wspólne prostej przechodzącej przez punkt P i okręgu
Teza:
Dowód:
Przyjrzyjmy się trójkątom APB i APC. Otrzymujemy:
, bo kąt wpisany BCA ma taką samą miarę jak
kąt dopisany PAB, oparty na tym samym łukuKąt APB jest wspólnym kątem trójkątów APB i APC, zatem na mocy cechy kkk podobieństwa trójkątów, trójkąty te są podobne.
Zatem:
, skąd co kończy dowód. Twierdzenie 2
Jeśli dwie proste przecinają okrąg odpowiednio w punktach A i B oraz C i D, a także przecinają się w punkcie P, którego odległość od środka danego okręgu jest większa niż promień to
Jeśli dwie proste przecinają okrąg odpowiednio w punktach A i B oraz C i D, a także przecinają się w punkcie P, którego odległość od środka danego okręgu jest większa niż promień to
Twierdzenie to wynika z poprzedniego twierdzenia.
Twierdzenie 3
Jeśli cięciwy AB i CD okręgu przecinają się w punkcie P, to
Jeśli cięciwy AB i CD okręgu przecinają się w punkcie P, to
Przykład 1
Oblicz długość |BC|, wiedząc, że |PA|=6cm i |PB|=4cm.
Wiemy, że
Odp. |BC| ma długość 5cm.
Zadania do zrobienia
1. Z punktu 
poprowadzono styczną do
okręgu w punkie 
oraz sieczną, przecinająca okrąg w punktach 
i 
, jak na rysunku
poniżej. Wiedząc, że 
, oblicz 
.
Odp. 
2. Przez punkt 
poprowadzono styczną do okręgu w punkcie i sieczną okręgu, przecinającą ten okrąg w
punktach i 
(zobacz rysunek do
zadania 5.155). Wykaż, że jeśli 
, to 
.