Udowodnijmy teraz to twierdzenie.
Załóżmy, że:
a, b, c – długości boków trójkąta ABC
α, β, γ – kąty leżące odpowiednio naprzeciwko boków a, b, c
R – promień okręgu opisanego na trójkącie ABC
Teza:
  

Dowód:
Rozważmy trzy przypadki:
I przypadek: kąt α jest ostry.
Prowadzimy średnicę CD okręgu i łączymy punkt D z punktem B. Powstały trójkąt CBD jest prostokątny, ponieważ kąt CBD jest oparty na półokręgu. Ponadto kąt wpisany CDB jest oparty na tym samym łuku BC co kąt wpisany CAB, zatem

Wyznaczmy sinus kąta CDB:
 , skąd .

II przypadek: kąt α jest prosty.
W trójkącie prostokątnym przeciwprostokątna jest jednocześnie średnicą okręgu opisanego na trójkącie, stąd .
Oprócz tego  więc .
Z tego otrzymujemy:
 

III przypadek: kąt α jest rozwarty.
Tak jak w I przypadku, prowadzimy średnicę CD okręgu i otrzymujemy trójkąt prostokątny CDB, w którym  oraz .

Wyznaczamy kąt BDC w zależności od α. Z własności kątów : środkowego i wpisanego w okrąg, opartych na tym samym łuku wynika, że:
- kąt wklęsły BOC jest równy 2α
-kąt wypukły BOC jest równy , stąd
Obliczamy sinus kąta BDC:


Ze wzoru redukcyjnego otrzymujemy, że:
, z czego wynika
 

Analogicznie udowadniamy, że  oraz .

Przykład 1

Dany jest trójkąt ABC, w którym  i sinβ=. Wyznacz miarę kąta α.

Pamiętajmy o tym, że  bo jest kątem wewnętrznym trójkąta.

Korzystając z twierdzenia sinusów otrzymujemy:

, czyli

, skąd otrzymujemy .

W podanym przedziale istnieją dwa kąty, dla których .

Odp. Miara kąta α jest równa 45° lub 135° .

Przykład 2

W  trójkącie ABC dane są dwa kąty: α=100° i β=50°. Wiedząc, że bok c pomiędzy nimi ma długość 5, wyznacz promień okręgu opisanego na tym trójkącie.

Z twierdzenia sinusów:

.  Znamy długość c, zatem musimy wyznaczyć sinγ.

.

  , skąd

, zatem

Odp. Długość promienia ma długość 5.

Przykład 3

W trójkącie ABC dane są miary kątów przy boku AB: 78° i 57°. Wiedząc, że promień okręgu opisanego ma długość 6cm, oblicz długość boku AB.

Przyjmijmy, że α- kąt naprzeciw boku AB.

Z twierdzenia sinusów:

.

Odp. Długość boku AB jest równa  cm.

Zadania do zrobienia