Załóżmy, że:
a, b, c – długości boków trójkąta ABC
α, β, γ – kąty leżące odpowiednio naprzeciwko boków a, b, c
Teza:



Dowód:
Rozważmy trzy przypadki:
I przypadek: kąt α jest ostry. Wtedy jeszcze jeden kat tego trójkąta jest ostry. Uznajmy, że jest to kąt β. Wtedy:
Punkt D jest spodkiem wysokości poprowadzonej z wierzchołka. W trójkącie ADC:

, więc

Z twierdzenia  Pitagorasa w trójkącie BCD :

Zatem:

II przypadek: kąt α jest prosty.
Wtedy korzystając z twierdzenia Pitagorasa i tego, że jeśli α=90° to cosα=0 możemy zapisać:

III przypadek: kąt α jest rozwarty.
Spodek wysokości CD leży na przedłużeniu boku AB. Wtedy |∢CAD| = 180° - α.


Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta DBC otrzymujemy:

W ten sposób udowodniliśmy twierdzenie dla dowolnego kąta.

Przykład 1

Wiedząc, że dwa boki trójkąta mają długość 5 i 3, a kąt pomiędzy nimi ma miarę 150°, oblicz obwód tego trójkąta.

Z twierdzenia cosinusów:

 , bo a>0

Obwód:

Przykład 2

Wykaż, stosując twierdzenie cosinusów, że trójkąt o bokach 11cm, 10 cm i 5cm jest ostrokątny.

Zauważmy najpierw, że to kąt naprzeciw boku długości 11cm będzie miał największą miarę, zatem to jego sprawdzimy czy jest on kątem ostrym.

Oznaczmy ten kąt jako α.

Z twierdzenia cosinusów:

Korzystając z tablicy wartości funkcji trygonometrycznych wyczytujemy, że α=87°<90°, zatem α jest kątem ostrym, czyli trójkąt ten jest ostrokątny, co kończy dowód.

Przykład 3

Długości boków trójkąta ABC są równe: . Oblicz miarę kąta α, znajdującego się przy wierzchołku C.

Podstawmy długości boków do twierdzenia cosinusów:

 czyli

Odp. Kąt α ma miarę równą 60°.

Zadania do zrobienia