1. Strona główna
  2. Baza wiedzy

Baza wiedzy

Zbiór informacji z matematyki oraz fizyki przygotowany przez Szkołę Maturzystów

Pole trójkąta

Twierdzenie  1
Pole trójkąta jest równe połowie iloczynu długości boku i wysokości opuszczonej na ten bok.

Wzór ten otrzymujemy z twierdzenia o polu figury i wzoru na pole prostokąta, ponieważ każdy trójkąt można podzielić na części i złożyć w prostokąt o bokach   i  .

Twierdzenie 2
Jeśli mamy dane długości a, b dwóch boków trójkąta i kąt α, αÎ(0°,180°), zawarty między tymi bokami, to pole P tego trójkąta wyraża się wzorem:

Przykład 1

Pole trójkąta ma . Oblicz długości 2 boków trójkąta, wiedząc, że jeden jest dwa razy dłuższy od drugiego a kąt pomiędzy nimi wynosi 30°.

Korzystamy ze wzoru na pole:

, czyli  bo a>0

Odp. Długości tych boków równają się 6cm i 12cm.

Twierdzenie 3
 Pole trójkąta równa się iloczynowi promienia koła wpisanego w ten trójkąt i połowy obwodu tego trójkąta.

Przykład 2

W trójkąt o polu równym  wpisano okrąg o promieniu długości 15 cm. Oblicz obwód tego trójkąta.

Niech p oznacza połowę obwodu tego trójkąta. Korzystając ze wzoru otrzymujemy:

Odp. Obwód tego trójkąta jest równy 80 cm.

 

Twierdzenie 4
 Pole P trójkąta o bokach mających długość a, b, c wyraża się wzorem :
  , gdzie R jest promieniem koła opisanego na tym trójkącie.

Ostatnie twierdzenie jest wnioskiem z twierdzenia sinusów oraz wzoru na pole trójkąta z użyciem sinusa.
Z twierdzenia sinusów otrzymujemy:
, czyli             (1)

Ze wzoru na pole wiemy, że:
                   (2)

Uwzględniając (1) i (2) otrzymujemy:

Twierdzenie 5 ( wzór Herona)
Pole P trójkąta o bokach mających długość a, b, c wyraża się wzorem:
 , gdzie  , czyli p jest połową obwodu tego trójkąta.

Załóżmy, że
a, b, c – długości boków dowolnego trójkąta ABC
P – pole trójkąta
 

Teza:

Dowód:
Korzystając ze wzoru na pole , wyznaczymy sinγ w zależności od boków trójkąta. Z jedynki trygonometrycznej otrzymujemy:
, bo γÎ(0°,180°)



Z twierdzenia cosinusów otrzymujemy zależność:
, zatem



Analogicznie otrzymujemy:


Stąd otrzymujemy:


Zwróćmy uwagę, że zachodzą równości takie jak:


 stąd



Ostatecznie:
, co kończy dowód.

Przykład 3

Dany jest trójkąt o bokach długości 17cm, 20 cm i 35 cm. Oblicz jego pole.

Zaczynamy od policzenia naszego p, czyli połowy obwodu:

Następnie podstawiamy do wzoru:

Odp. Pole tego trójkąta jest równe .



Zadania do zrobienia


1. Oblicz długość wysokości trójkąta równobocznego o polu  .

Odp.

 

2. W trójkącie prostokątnym cosinus jednego z kątów jest równy , a promień okręgu opisanego na tym trójkącie jest równy . Oblicz pole tego trójkąta.

Odp. 120

 

3. W trójkącie równoramiennym długość podstawy wynosi 16 cm, a wysokość poprowadzona na tę podstawę jest równa. Oblicz pozostałe wysokości.

Odp.  cm

 

4. Dany jest trójkąt prostokątny , w którym |BAC| =  oraz . Na boku tego trójkąta zaznaczono punkt w taki sposób, że . Wiedząc, że pole trójkąta  jest równe  , oblicz:

a) pole trójkąta

b)wysokość trójkąta poprowadzoną z punktu .

Odp.      a)  

                b)  cm

 

5. Oblicz pole trójkąta, którego dwa boki mają długość  i , a kąt między nimi ma miarę:

a)

b)

 

Odp.      a) 

                b)  

 

6. Dwa wierzchołki trójkąta są wierzchołkami równoległoboku, a trzeci wierzchołek trójkąta należy do przeciwległego boku równoległoboku (zobacz rysunek poniżej). Wykaż, że pole równoległoboku jest dwa razy większe od pola trójkąta

 

 

7. Boki trójkąta mają długość . Oblicz:

a) pole trójkąta

b) promień okręgu wpisanego w ten trójkąt

c) promień okręgu opisanego na tym trójkącie.

Odp.      a)  

                b)  cm

                c)  cm


8. Dwa boki trójkąta mają długość  i , a promień okręgu opisanego na tym trójkącie jest równy  cm. Wiedząc, że pole trójkąta jest równe 336 , wyznacz:

a) długość trzeciego boku

b) promień okręgu wpisanego w ten trójkąt.

Odp.      a)

                b)

 

9. Oblicz długość przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego, którego obwód jest równy , a pole wynosi 210 .

Odp.