1. Strona główna
  2. Baza wiedzy

Baza wiedzy

Zbiór informacji z matematyki oraz fizyki przygotowany przez Szkołę Maturzystów

Zastosowanie pojęcia pola w dowodzeniu twierdzeń

Przykład 1

Dowodzenie wzoru na pole Herona

Załóżmy, że

a, b, c – długości boków dowolnego trójkąta ABC

P – pole trójkąta

 

Teza:

Dowód:

Korzystając ze wzoru na pole , wyznaczymy sinγ w zależności od boków trójkąta. Z jedynki trygonometrycznej otrzymujemy:

, bo γÎ(0°,180°)

Z twierdzenia cosinusów otrzymujemy zależność:

, zatem

Analogicznie otrzymujemy:

Stąd otrzymujemy:

Zwróćmy uwagę, że zachodzą równości takie jak:

 stąd

Ostatecznie:

, co kończy dowód.


Z pola możemy korzystać do dowodzenia różnych twierdzeń.

Przykład 2

Wykaż, że równość  jest prawdziwa w przypadku dowolnych figur podobnych.

Niech figura o polu P będzie zbudowana na boku długości c, figura o polu  na boku długości a i figura o polu  na boku długości b.

 

 

Wiedząc, że skalę podobieństwa możemy wyznaczyć na przykład przez stosunek długości odpowiadających sobie odcinków w tych figurach i korzystając z zapisanego powyżej twierdzenia otrzymujemy:

 ()2, skąd   

Analogicznie

 , skąd   .

Zatem

, co kończy dowód.


Zadania do zrobienia


1. Wyznacz długość boku c trójkąta, jeśli dane są długości  dwóch jego boków oraz wiadomo, że  +  = , gdzie , ,  są wysokościami opuszczonymi na odpowiednie boki tego trójkąta.

Odp.  

 

2. W trójkąt prostokątny o przyprostokątnych mających długość  wpisano prostokąt w taki sposób, że dwa kolejne boki prostokąta zawierają się w ramionach kąta prostego, a jeden jego wierzchołek leży na przeciwprostokątnej. Stosunek boków prostokąta jest równy . Oblicz długość krótszego boku prostokąta. Rozważ dwa przypadki. W którym przypadku pole prostokąta jest większe?

Odp.  lub

 

3. Punkt  należy do podstawy trójkąta równoramiennego , M A i M  B. Wykaż, że suma odległości punktu  od ramion trójkąta jest równa wysokości trójkąta, poprowadzonej z punktu .

Odp. wskazówka: przedstaw pole trójkątajako sumę pól trójkątów i