1. Strona główna
  2. Baza wiedzy

Baza wiedzy

Zbiór informacji z matematyki oraz fizyki przygotowany przez Szkołę Maturzystów

Podział czworokątów. Trapezoidy

Każdy czworokąt ma dwie przekątne czyli odcinki łączące dwa wierzchołki wielokąta, niebędące jego bokiem. Obwodem wielokąta nazywamy sumę długości jego boków.
Twierdzenie 1
Suma kątów dowolnego czworokąta jest równa 360°.

Przykład 1

W czworokącie ABCD sumy miar kolejnych kątów pozostają w stosunku 1:2:3:4. Podaj miary kątów tego czworokąta.

Miary kątów w tym czworokącie są odpowiednio równe x, 2x, 3x i 4x. Korzystając z tego i z tego, że suma miar kątów jest równa 360° otrzymujemy:


Odp. Miary kątów tego czworokąta są równe odpowiednio 36°, 72°, 108° i 144°.

Czworokąty dzielimy na:
  • Trapezoidy, czyli czworokąty, które nie mają ani jednej pary boków równoległych. Przykładem trapezoidu jest deltoid.
  • Trapezy, czyli czworokąty mające co najmniej jedną parę boków równoległych.
Z kolei wśród trapezów wyróżniamy równoległoboki, czyli czworokąty mające dwie pary boków równoległych. Wśród nich wyróżniamy jeszcze romby, prostokąty i kwadraty, będące zarówno rombami jak i prostokątami.
Twierdzenie 2 ( własności deltoidu)
a) Przekątne deltoidu są prostopadłe.
b) Miary kątów deltoidu między bokami mającymi różne długości są równe.
c) Przekątna deltoidu łącząca wierzchołki kątów o różnych miarach zawiera się w ich dwusiecznych.
d) Punkt przecięcia przekątnych deltoidu dzieli przekątną – łączącą wierzchołki kątów o równych miarach – na połowy.


Zadania do zrobienia


 

1. Oblicz miary kątów czworokąta  wiedząc, że:

a) przekątna zawiera się w dwusiecznej kąta przy wierzchołku i w dwusiecznej kąta przy wierzchołku  oraz kąt  jest o  mniejszy od kąta  a kąt  jest o  większy od kąta

b) przekątna zawiera się w dwusiecznej kąta przy wierzchołku oraz suma miar kątów  i wynosi , kąt ma miarę dwa razy większą niż kąt , a kąt  jest o  większy od kąta .

Czy czworokąt jest deltoidem? Odpowiedź uzasadnij.

Odp.      a) |A| = , |B| = , |C| = , |D| = ; tak

                b) |A| = , |B| = , |C| = , |D| = ; nie

 

2. Kawałek czworokątnego materiału o obwodzie  przecięto wzdłuż jednej z jego przekątnych. Powstały dwie chusty w kształcie trójkąta równoramiennego: pierwsza o obwodzie , a druga o obwodzie . Linia rozcięcia stanowi podstawę pierwszego trójkąta, a dla drugiego jest ramieniem. Wyznacz wymiary obu chust.

Odp. I.       II.

 

3. Oblicz miary kątów czworokąta, jeśli:

a) pierwszy kąt jest o  mniejszy od drugiego, trzeci kąt jest o  większy od pierwszego, a czwarty jest średnią arytmetyczną trzech pozostałych

b) miary kolejnych kątów pozostają w stosunku

c) miara kąta drugiego stanowi  miary kąta pierwszego, kąt trzeci jest o  większy od kąta drugiego, a miara kąta czwartego stanowi  miary kąta pierwszego.

 Odp.      a) , , ,

                b) , , ,

                c) , , ,