1. Strona główna
  2. Baza wiedzy

Baza wiedzy

Zbiór informacji z matematyki oraz fizyki przygotowany przez Szkołę Maturzystów

Trapezy

Trapezy to czworokąty mające co najmniej jedną parę boków równoległych. Te równoległe boki nazywamy podstawami, a dwa pozostałe – ramionami.
Wysokość trapezu jest to odcinek (oraz jego długość) prostopadły do podstaw, którego końce zawierają się w podstawach lub ich przedłużeniach.
Twierdzenie 1
 W dowolnym trapezie suma kątów przy każdym ramieniu jest równa 180°.
Twierdzenie 2
 W dowolnym trapezie odcinek łączący środki ramion jest równoległy do podstaw trapezu i jego długość jest połową sumy długości podstaw.


Załóżmy, że czworokąt ABCD jest trapezem, w którym
AB || CD
|AE|=|ED|
|BF|=|FC|
Teza:
EF || AB


Dowód:
Poprowadźmy prostą DF, która przetnie prostą AB w punkcie G.
Zauważmy, że:
|∢CFD| = |∢BFG| (kąty wierzchołkowe)
|∢DCF|= |∢GBF|   (kąty naprzemianległe wewnętrzne)
|BF|=|FC|
Wnioskujemy z tego, że trójkąty CDF i BGF są przystające. Dzięki temu możemy stwierdzić, że
|CD|=|BG| i |DF|=|FG|
Zatem odcinek EF łączy środki boków AD i GD trójkąta AGD.
Z twierdzenia o odcinku łączącym boki w trójkącie wynika, że:
EF || AG oraz EF || AB oraz  
przy czym
|AG|= |AB| + |BG| = |AB| + |CD|, zatem otrzymujemy
 co kończy dowód.
 
Twierdzenie 3
Jeśli trapez jest równoramienny, to jego ramiona mają takie same długości.
Twierdzenie 4
W trapezie równoramiennym o podstawach mających długości a, b (a>b) wysokość poprowadzona z wierzchołka kąta rozwartego dzieli dłuższą podstawę na odcinki, których długości są równe  i .

Przykład 1

W trapezie równoramiennym odcinek łączący środki ramion ma długość 15 cm, ramię ma długość 13 cm, a wysokość – 12 cm. Oblicz długość podstaw tego trapezu.

Przyjmując oznaczenia jak na rysunku, otrzymujemy:

AB || CD, |AD| = |BC|

punkty E, F to odpowiednio środki ramion AD I BC.

Z danych zadania wiemy, że

|EF| = 15 cm

|AD| = |BC| = 13 cm

|CG| = 12 cm

Najpierw obliczymy długość odcinka GB, korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta GBC:

, skąd

, zatem

|GB| = 5 cm, |GB| > 0

Z twierdzenia o odcinku łączącym środki ramion trapezu wiemy, że


Z ostatniego twierdzenia wynika, że

, zatem

|AG| = |EF| = 15 cm

Obliczmy długość AB

|AB| = |AG|+|GB| = 15 + 5 = 20 cm

Obliczmy długość CD

|CD| = |AG| - |GB| = 15 – 5 = 10 cm

Odp. Podstawy trapezu mają długości 10 cm i 20 cm.



Zadania do zrobienia


1. W trapezie równoramiennych krótsza podstawa ma taką samą długość jak ramię

a) Wykaż, że przekątne trapezu zawierają się w dwusiecznych kątów przy dłuższej podstawie

b) Wiedząc dodatkowo, że stosunek długości podstaw wynosi  , wyznacz miary kątów trapezu.

Odp.      b) ,

 

2. Różnica długości podstaw trapezu prostokątnego wynosi , a dłuższe ramię ma długość . Wiedząc, że wysokość trapezu i krótsza podstawa pozostają w stosunku , oblicz długość podstaw tego trapezu.

Odp.

 

3. W trapezie równoramiennym miara kąta ostrego jest równa . Wysokość trapezu jest równa  cm, a długość przekątnej wynosi  cm. Oblicz obwód trapezu.

Odp.

 

4. W trapezie równoramiennym wysokość jest równa długości krótszej odstawy, a ramię ma długość . Suma długości podstaw jest równa . Oblicz długości podstaw tego trapezu.

Odp.  i  lub i