1. Strona główna
  2. Baza wiedzy

Baza wiedzy

Zbiór informacji z matematyki oraz fizyki przygotowany przez Szkołę Maturzystów

Równoległoboki

Równoległoboki to czworokąty mające dwie pary boków równoległych.
Twierdzenie 1 (własności równoległoboku)
a) Długości dowolnych dwóch przeciwległych boków równoległoboku są równe.
b) Dowolne dwa przeciwległe kąty równoległoboku są równe.
c) Punkt przecięcia przekątnych równoległoboku dzieli te przekątne na połowy.
d) Suma kątów leżących przy każdym boku równoległoboku jest równa 180°.
Twierdzenie  2
a)  Jeśli długości każdych dwóch przeciwległych boków czworokąta są równe, to czworokąt ten jest równoległobokiem.
b) Jeśli każde dwa przeciwległe kąty czworokąta są równe, to czworokąt ten jest równoległobokiem.
c) Jeśli punkt przecięcia przekątnych dzieli te przekątne na połowy, to czworokąt ten jest równoległobokiem.
d) Jeśli suma kątów leżących przy każdym boku czworokąta jest równa 180°, to czworokąt ten jest  równoległobokiem.
Przydatnym wnioskiem płynącym z powyższych twierdzeń jest to, że aby udowodnić, że dany czworokąt jest równoległobokiem, wystarczy wykazać, że spełniony jest jeden z warunków wymienionych poniżej:
  • Każde dwa boki czworokąta są równoległe.
  • Długości dwóch przeciwległych boków czworokąta są równe.
  • Każde dwa przeciwległe kąty czworokąta są równe.
  • Punkt przecięcia przekątnych czworokąta dzieli te przekątne na połowy.
  • Suma kątów leżących przy  każdym boku czworokąta jest równa 180°.
Prostokąt to równoległobok, mający wszystkie kąty proste. Posiada on wszystkie własności równoległoboku, a ponadto jego przekątne mają równe długości.
Romb to równoległobok, mający wszystkie boki równej długości Posiada on wszystkie własności równoległoboku, a ponadto jego przekątne zawierają się w dwusiecznych kątów i jego przecinają się pod kątem prostym.

Przykład 1

Pan Eryk chciał zrobić swojej żonie rabatę w kształcie rombu o przekątnych długości 10m i 24m. Oblicz ile metrów płotka potrzebuje pan Eryk do ogrodzenia rabaty.

Wiedząc, że przekątne rombu dzielą się na połowy i przecinają pod kątem prostym możemy obliczyć długość boku tego romb z twierdzenia Pitagorasa:

 , gdzie a to długość boku rombu, a>0

, zatem a = 13 m

Wiemy, że romb ma wszystkie boki jednakowej długości zatem

Obw = 4a = 4 × 13 = 52 m

Odp. Pan Eryk potrzebuje kupić 52 m płotka do ogrodzenia rabaty.

Kwadrat to romb, mający wszystkie kąty proste. Ma on wszystkie własności rombu i prostokąta.

Przykład 2

Korzystając z informacji z rysunku, oblicz wysokość DE równoległoboku.

 

Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta ABD wyliczamy długość przekątnej BD.

, skąd |BD|= 12 cm, bo |BD|>0.

Znając długości boków trójkąta ABD możemy obliczyć jego pole:

 

Pole trójkąta możemy również obliczyć w inny sposób:

Zatem:

Odp. Długość wysokości DE równoległoboku jest równa.



Zadania do zrobienia


1. W równoległoboku kąt przy wierzchołku jest rozwarty. Z tego wierzchołka poprowadzono dwie wysokości równoległoboku. Wysokości te tworzą kąt o mierze . Oblicz miary kątów równoległoboku.

Odp. , , ,

 

2. W prostokącie, który nie jest kwadratem, poprowadzono dwusieczne kątów:

a) wewnętrznych

b) zewnętrznych

Udowodnij, że punkty przecięcia tych dwusiecznych są wierzchołkami kwadratu.

 

3. Wykaż, że środki boków dowolnego czworokąta są wierzchołkami równoległoboku. Jaką figurę otrzymamy, łącząc kolejno środki boków

a) równoległoboku

b) rombu

c) prostokąta

d) kwadratu

Odp.      a) równoległobok

                b) prostokąt

                c) romb

                d) kwadrat

 

4. W prostokącie, którego obwód ma , różnica odległości punktu przecięcia przekątnych od dwóch nierównych boków wynosi . Oblicz długości boków prostokąta.

Odp.