1. Strona główna
  2. Baza wiedzy

Baza wiedzy

Zbiór informacji z matematyki oraz fizyki przygotowany przez Szkołę Maturzystów

Okrąg opisany na czworokącie

O tym, że okrąg jest opisany na czworokącie mówimy wtedy, gdy każdy wierzchołek czworokąta należy do tego okręgu.
Twierdzenie 1
Jeśli można opisać okrąg na czworokącie, to symetralne wszystkich boków tego czworokąta przecinają się w jednym punkcie.
Twierdzenie 2
Jeśli symetralne wszystkich boków przecinają się w jednym punkcie, to na tym czworokącie można opisać okrąg.
Twierdzenie 3
Na czworokącie można opisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy symetralne wszystkich boków tego czworokąta przecinają się w jednym punkcie.
Twierdzenie 4
Jeśli czworokąt można wpisać w okrąg, to sumy przeciwległych kątów czworokąta są równe i wynoszą po 180°.
Załóżmy, że w czworokąt ABCD można wpisać w okrąg


Teza:
|∢A| + |∢C| = |∢B| + |∢D| = 180°
Dowód:
Poprowadźmy styczną do okręgu w punkcie A i przekątną AC tego czworokąta. Wtedy kąt dopisany EAD jest oparty na tym samym łuku co kąt wpisany ACD, więc
|∢EAD| = |∢ACD|
Analogicznie
|∢FAB| = |∢ACB|
Z tego wynika, że
|∢A| + |∢C| = |∢EAF| = 180°
Suma kątów w czworokącie jest równa 360°, zatem
|∢B| + |∢D| = 180°, co  kończy dowód.

Twierdzenie 5
Jeśli sumy przeciwległych kątów czworokąta są równe ( i wynoszą po 180°), to można na tym czworokącie opisać okrąg.

Przykład 1

Dany jest równoległobok ABCD. Z wierzchołka D poprowadzono dwie wysokości DE i DF równoległoboku. Udowodnij, że na czworokącie EBFD można opisać okrąg.

Wiemy, że aby wpisać czworokąt w okrąg, suma dwóch jego kątów leżących naprzeciwko siebie musi być równa 180°.

Obliczamy:

|∢DEB| + |∢DFB| = 90° + 90° = 180°, co kończy dowód.

Twierdzenie Okrąg można opisać na czworokącie wtedy i tylko wtedy, gdy sumy miar przeciwległych kątów czworokąta są równe ( i wynoszą po 180°).

Przykład 2

Oblicz miary kątów czworokąta ABCD, wiedząc, że można go wpisać w okrąg i wiedząc, że miary kątów przy wierzchołkach A i C są w stosunku 4:5, a |∢B|=3|∢D|.

Wiedząc, że

|∢A|=4x i |∢C|=5x oraz |∢A|+ |∢C|  = 180°

Otrzymujemy równanie

9x=180°, skąd x=20°.

Zatem |∢A|=80° i |∢C|=100°.

Wiemy też, że

|∢B|=3|∢D| oraz |∢B|+|∢D|=180°, skąd

4|∢D|=180°, czyli

|∢D|=45°, a |∢B|=  135°.

Odp. Miary katów czworokąta ABCD są odpowiednio równe 80°,135°,100° i 45°.

Twierdzenie 6
Okrąg można opisać na czworokącie ABCD wtedy i tylko wtedy, gdy przekątne AC i BD czworokąta ABCD tworzą odpowiednio z bokami BC i AD kąty równe (tzn.|∢ADB| = |∢ACB|).


Zadania do rozwiązania


1. Wyznacz miary kątów czworokąta wpisanego w okrąg, wiedząc że:

Odp.

 

2. Oblicz długość boku kwadratu, wiedząc że iloczyn długości promienia okręgu wpisanego w ten kwadrat i promienia okręgu opisanego na tym kwadracie (wyrażonych w tych samych jednostkach) jest równy .

Odp.

 

3. W prostokącie mniejszy bok ma długość , a kąt ostry między przekątnymi ma miarę . Jaka jest długość promienia okręgu opisanego na tym prostokącie?

Odp.  cm

 

4. Na trapezie o podstawach długości  i  oraz wysokości opisano okrąg; jego środek leży wewnątrz trapezu. Oblicz odległości środka okręgu od wszystkich boków tego trapezu.

Odp. Odległości od podstaw: ; odległości od ramion:  cm

 

5. W prostokącie bok AB ma długość . Odległość wierzchołka  od przekątnej  jest równa. Oblicz długość promienia okręgu opisanego na prostokącie

Odp.