1. Strona główna
  2. Baza wiedzy

Baza wiedzy

Zbiór informacji z matematyki oraz fizyki przygotowany przez Szkołę Maturzystów

Okrąg wpisany w czworokąt

O tym, że okrąg jest wpisany w czworokąt mówimy wtedy, gdy każdy bok tego czworokąta jest styczny do tego okręgu.
Twierdzenie 1
Jeśli okrąg można wpisać w czworokąt wypukły, to dwusieczne wszystkich kątów tego czworokąta przecinają się w jednym punkcie.
Twierdzenie 2
Jeśli dwusieczne wszystkich kątów czworokąta wypukłego przecinają się w jednym punkcie, to w czworokąt można wpisać okrąg.
Twierdzenie 3
Okrąg można wpisać w czworokąt wypukły wtedy i tylko wtedy, gdy dwusieczne wszystkich kątów czworokąta wypukłego przecinają się w jednym punkcie.
Twierdzenie 4 
Jeśli okrąg można wpisać w czworokąt wypukły, to sumy długości przeciwległych boków czworokąta są równe.
Załóżmy, że  ABCD jest czworokątem opisanym na okręgu a punkty E, F, G, H są punktami styczności czworokąta z okręgiem.


Teza:
|AB| + |CD| = |AD| + |BC|
Dowód:
Korzystając z twierdzenia o odcinkach stycznych wynika, że odcinki oznaczone tym samym kolorem mają jednakową długość. Sprawdźmy sumę długości boków AB i CD:
|AB| + |CD| = |AF|+|FB|+|CH|+|HD|=|AE|+|BG|+|GC|+|ED| = |AE|+|ED|+|BG|+|GC|= =|AD|+|BC|, co kończy dowód.

Przykład 1

W trapez ABCD wpisano okrąg. Oblicz stosunek odcinka EF łączącego środki ramion tego trapezu do połowy jego obwodu.

Z ostatniego twierdzenia wynika, że

|AB| + |CD| = |AD| + |BC|

Łącząc je z wzorem na obwód otrzymujemy

|AB|+|BC|+|CD|+|DA| = (|AB|+|CD|) + (|AD|+|BC|)=2(|AB|+|CD|), czyli połowa obwodu jest równa |AB| + |CD|

Natomiast z twierdzenia o odcinku łączącym środki ramion trapezu wynika, że:

Obliczmy stosunek długości odcinka EF do połowy obwodu trapezu

   

 

Twierdzenie 5
Jeśli sumy długości przeciwległych boków czworokąta wypukłego są równe, to w ten czworokąt można wpisać okrąg.
Twierdzenie 6
Okrąg można wpisać w czworokąt wypukły wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości przeciwległych boków tego czworokąta są równe.


Zadania do zrobienia


 

1. W romb wpisano okrąg. Punkt styczności okręgu z bokiem dzieli bok na odcinki długości  i . Oblicz długość przekątnych i wysokość rombu.

Odp.  


2. Odcinek łączący środki ramion trapezu ma długość . Wiedząc, że w ten trapez można wpisać okrąg, oblicz obwód trapezu.

Odp.


 


3. W romb o boku długości i wysokości  wpisano okrąg .


a) Oblicz, w jakiej odległości od środka boku znajduje się punkt styczności okręgu z tym bokiem


b) Wykaż, że przez środki boków tego rombu można poprowadzić okrąg  i wyznacz długość promienia tego okręgu.


c) Korzystając z wyliczonych wielkości, narysuj ten romb wraz z okręgami  i  w skali

Odp.      a)


                b)


wskazówka: niech będzie rombem - wysokością rombu, - środkiem okręgu , punktem styczności boku z okręgiem . Oblicz długość odcinka , następnie wykorzystaj podobieństwo trójkątów  i  do obliczenia


 

4. W trapez wpisano okrąg. Punkt styczności okręgu z dłuższą podstawą trapezu dzieli tę podstawę na odcinki długości  i . Wysokość trapezu ma długość . Oblicz obwód tego trapezu.

Odp.