Okrąg opisany na czworokącie, okrąg wpisany - zadania na dowodzenie
Przykład 1
W okręgu o środku O poprowadzono dwie prostopadłe średnice AB i CD. Z punktu A poprowadzono cięciwę AE, która przecina średnicę CD w punkcie F. Wiedząc, że ∢EAB=30° wykaż, że na czworokącie FOEB można opisać okrąg.
Wiedząc, że suma kątów w trójkącie jest równa 180° otrzymujemy |∢AFD|=60°.
Kąty AFD i DFE to kąty przyległe zatem suma ich miar wynosi 180°. Stąd:
|∢DFE|=180°-60°=120°
Wiemy też, że |∢AEB|=90°, bo jest oparty na średnicy okręgu.
|∢COB|=90°, bo średnice są do siebie prostopadłe.
|∢ABE|=60° bo suma miar kątów w czworokącie jest równa 360°.
Stąd 90°+90°=120°+60°=180°, a to z definicji oznacza, że na czworokącie można opisać okrąg, co należało dowieść.
Przykład 2
W kwadracie połączono środki sąsiednich boków. Udowodnij, że na czworokącie DGFB można opisać okrąg.
Spójrzmy na trójkąt DCB. Odcinek GF jest odcinkiem łączącym środki ramion tego trójkąta, zatem jest on równoległy do podstawy DB, czyli czworokąt DGFB jest trapezem równoramiennym. W związku z tym kąty przy podstawach są równe. Korzystając z własności trapezu, że kąty przy jednym ramieniu sumują się do 180° widzimy, że sumy kątów leżących naprzeciw siebie są równe i wynoszą 180°, co jest warunkiem opisania okręgu na czworokącie, co kończy dowód.
Zadania do zrobienia
1. Wykaż, że jeśli czworokąt wpisany w okrąg ma jedną parę boków przeciwległych równej długości, to przekątne tego czworokąta mają taką samą długość.
Odp. wskazówka: zauważ, że czworokąt to trapez równoramienny
2. Wielokąt o parzystej liczbie boków opisano na okręgu i ponumerowano kolejno boki tego wielokąta. Wykaż, że suma długości boków o numerach parzystych jest równa sumie długości boków o numerach nieparzystych.