1. Strona główna
  2. Baza wiedzy

Baza wiedzy

Zbiór informacji z matematyki oraz fizyki przygotowany przez Szkołę Maturzystów

Pole czworokąta – zadania różne

Zastanawiając się nad tym jak obliczyć pole czworokąta, jeżeli nie możemy skorzystać z własności równoległoboku albo trapezu, często dzielimy go na figury, których pola możemy obliczyć albo dopełniamy go do takiej figury, a następnie odejmujemy pola dodanych figur. Znacznym ułatwieniem przy liczeniu pól na pewno okażą się twierdzenia przedstawione poniżej.
Twierdzenie 1
 Jeśli w czworokąt wypukły można wpisać okrąg, to pole tego czworokąta jest równe iloczynowi promienia okręgu wpisanego w ten czworokąt i połowy obwodu czworokąta.

Przykład 1

 

Czworokąt ABCD opisano na kole, którego pole jest równe 36π. Wiedząc, że

|AB| + |CD| = 44 cm oblicz pole tego czworokąta.

Niech r (r>0) oznacza promień wpisanego koła,  – jego pole.

Z twierdzenia o kole wpisanym w czworokąt wiemy, że :

|AB| + |CD| = |AD| + |BC|, co oznacza, że suma |AB| + |CD| jest równa połowie obwodu czworokąta.

 Obw = 44 cm

Ze wzoru na pole koła możemy wyliczyć r:

 = 36π, więc 36π = π

r= 6 lub r= - 6 ( liczba ta nie spełnia warunku r>0)

Posiadając już wszystkie potrzebne dane możemy skorzystać z naszego nowego twierdzenia:

Odp. Pole czworokąta jest równe 264 . 

Poprzednie twierdzenie można uogólnić do postaci:

Twierdzenie 2
Jeśli w wielokąt wypukły można wpisać okrąg, to pole tego wielokąta jest równe iloczynowi promienia okręgu wpisanego w ten wielokąt i połowy obwodu wielokąta.
Twierdzenie 3
Jeśli przekątne czworokąta wypukłego mają długość   i  oraz przecinają się pod kątem α, to pole P tego czworokąta wyraża się wzorem:
  .

Z tego twierdzenia rodzi nam się wniosek:
Jeśli przekątne czworokąta wypukłego mają długość i  oraz przecinają się pod kątem prostym, to pole P tego czworokąta można wyrazić wzorem:
  , bo sin90° = 1.

Przykład 2

Wiedząc, że pole czworokąta ABCD, którego przekątne przecinają się pod kątem 30° jest równe 30 cm, oblicz długości przekątnych jeśli jedna jest o 20% dłuższa od drugiej.

Zatem d, 1,2d to długości naszych przekątnych. Podstawiamy wszystkie wartości do wzoru:

d2= 100 czyli d = 10 lub d = -10 (nie może być, bo długości odcinków są wartościami dodatnimi).

Skoro d= 10 to 1,2d = 12.

Odp. Długości przekątnych tego czworokąta są równe odpowiednio 10 cm i 12 cm.

 Przykład 3

Korzystając z danych na rysunku, oblicz pole wpisanego w okrąg prostokąta ABCD.

Z własności wysokości dzielącej przeciwprostokątną otrzymujemy:

|EC|=9

|AC|=|AE|+|EC|=10

Pole prostokąta ABCD jest równe podwojonej wartości pola trójkąta ACD:

Odp. Pole prostokąta jest równe 30.

Pola figur podobnych

Twierdzenie Stosunek pól figur podobnych równa się kwadratowi skali podobieństwa.

Przykład

Pole rombu jest o 44% większe od pola rombu ABCD. Obliczmy skale podobieństwa rombu do rombu ABCD.

Niech k (k>0) oznacza szukaną skalę podobieństwa.

Wiemy, że pole rombu wynosi:

 + 44%= 1,44

Stosunek pól jest równy:

 =  = 1,44

Z ostatniego twierdzenia wiemy, że stosunek ten jest równy kwadratowi skali podobieństwa, więc

, czyli

k=1,2 lub k= - 1,2 (ta liczba nie spełnia warunku, bo z założenia k>0).

Z tego wynika, że skala podobieństwa wynosi 1,2.

Znane jest nam twierdzenie Pitagorasa o treści:
„Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to kwadrat długości przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów długości przyprostokątnych.”
Możemy je przeredagować i sformułować też w ten sposób:
„Jeżeli trójkąt jest prostokątny i na bokach tego trójkąta zbudujemy figury podobne, to pole figury zbudowanej na przeciwprostokątnej jest równe sumie pól figur zbudowanych na przyprostokątnych.”

 



Zadnia do zrobienia

 

1. Dane są długości  i  przekątnych czworokąta wypukłego oraz miara kąta między tymi przekątnymi. Oblicz pole czworokąta, jeśli    ,   

Odp.

 

2. Dane są długości  i  przekątnych czworokąta wypukłego oraz jego pole . Oblicz miarę kąta przecięcia przekątnych, jeśli  ,  ,  

Odp.

 

3. Oblicz pole czworokąta, wiedząc, że środki kolejnych boków tego czworokąta tworzą:

a) prostokąt o obwodzie , którego jeden z boków jest o  dłuższy od drugiego

b) romb, którego krótsza przekątna ma długość , a wysokość ma długość

c) równoległobok, którego boki mają długość  i , a kąt rozwarty ma miarę

Odp.      a)  

                b)  

                c)