Wzór funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej.
Wiesz już, że w wyniku przesunięcia równoległego wykresu
funkcji y=f(x) o wektor 
=[p,q] otrzymujemy wykres funkcji y=f(x-p) +q.
Więc mając wzór y=-2x2 i przesuniemy go o wektor [3,2] otrzymamy wzór:
y= -2(x-3)2+2
Twierdzenie 1: W wyniku przesunięcia równoległego wykresu
funkcji kwadratowej y=ax2, gdzie a≠0, o wektor =[p,q] otrzymujemy wykres funkcji
y= a(x-p)2+q
Taki wzór y= a(x-p)2+q, gdzie a≠0, nazywamy wzorem w postaci kanonicznej.
Przykład: Naszkicuj wykres funkcji: f(x)= f(x)= 
(x-2)2+4
Czyli korzystając z twierdzenia wykres funkcji otrzymamy w wyniku przesunięcia równoległego
wykresu funkcji f(x)= x2 o wektor [2,4].
Niektóre własności tej funkcji:
-Osią symetrii jest prosta x=2
-Zbiorem wartości funkcji jest przedział <4,+∞)
-Malejąca w przedziale (-∞,2>, rosnąca w przedziale <2, +∞)
Czyli jeżeli funkcję y=ax2 przesuniemy równolegle o wektor [p,q] to osią symetrii będzie prosta x=p, zbiorem wartości będzie przedział <q, +∞) lub
(-∞, q>, drugi przedział w przypadku jeżeli a<0
Przykład: Napisz wzór funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej, wiedząc że najmniejszą wartość równą -2 funkcja osiąga dla argumentu 3, a do wykresu funkcji należy punkt A(-3,-6)
Możemy od razu podać wierzchołek funkcji;
W=(3,-2), czyli p=3, q=-2
W tym momencie nasz wzór wygląda tak:
f(x)=a(x-3)2-2
Aby wyliczyć a, do wzoru podstawiamy nasz punkt A:
-6=a(-3-3)2-2
-6=a*(-6)2-2
-6=36a-2
36a=-4
a=
,
Więc wzór w postaci kanonicznej funkcji to :
f(x)=
=
(x-3)2-2
Zadania do zrobienia
1. Podaj wzór funkcji kwadratowej w
postaci kanonicznej, której wykres otrzymamy , przesuwając równolegle wykres
funkcji 
o podany wektor 
, jeśli:
a) 
, 
b) 
, 
Odp. a)
2
b)
2. Naszkicuj wykres funkcji kwadratowej 
, a następnie podaj
zbiór wartości funkcji oraz maksymalne przedziały monotoniczności tej
funkcji, jeśli:
a) 
b) 
Odp. a)
; funkcja rosnąca w
przedziale 
, malejąca w przedziale
)
b)
; funkcja rosnąca w
przedziale 
; +
), malejąca w
przedziale 
3. Na podstawie wzoru funkcji kwadratowej f w postaci kanonicznej podaj:
zbiór wartości funkcji f
współrzędne wierzchołka W paraboli będącej wykresem funkcji f
równanie osi symetrii tej paraboli
maksymalne przedziały monotoniczności funkcji f, jeśli:
a
b) 
Odp. a)
; 
; funkcja rosnąca w
przedziale 
; +), malejąca w
przedziale 
b)
; funkcja rosnąca w
przedziale 
, malejąca w przedziale
)
4. Wyznacz wzór funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej,
wiedząc, że dla argumentu 
funkcja przyjmuje
wartość najmniejszą, równą 
, a do jej wykresu
należy punkt 
Odp. 
(
5. Wyznacz wzór funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej, jeśli najmniejszą
wartością funkcji jest liczba 
, wykres funkcji przecina oś 
w punkcie o rzędnej 
, a osią symetrii tego
wykresu jest prosta o równaniu 
Odp.
(