Baza wiedzy

Zbiór informacji z matematyki oraz fizyki przygotowany przez Szkołę Maturzystów

Wzór funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej.

Wiesz już, że w wyniku przesunięcia równoległego wykresu funkcji y=f(x) o wektor  =[p,q] otrzymujemy wykres funkcji y=f(x-p) +q.

Więc mając wzór y=-2x2 i przesuniemy go o wektor [3,2] otrzymamy wzór:

y= -2(x-3)2+2

Twierdzenie 1: W wyniku przesunięcia równoległego wykresu funkcji kwadratowej y=ax2, gdzie a≠0, o wektor  =[p,q] otrzymujemy wykres funkcji

y= a(x-p)2+q

Taki wzór y= a(x-p)2+q, gdzie a≠0, nazywamy wzorem w postaci kanonicznej.

Przykład: Naszkicuj wykres funkcji: f(x)=  f(x)=  (x-2)2+4

Czyli korzystając z twierdzenia wykres funkcji  otrzymamy w wyniku przesunięcia równoległego wykresu funkcji  f(x)=  x2 o wektor [2,4].

Niektóre własności tej funkcji:

-Osią symetrii jest prosta x=2

-Zbiorem wartości funkcji jest przedział <4,+∞)

-Malejąca w przedziale (-∞,2>, rosnąca w przedziale <2, +∞)

Czyli jeżeli funkcję y=ax2 przesuniemy równolegle o wektor [p,q] to osią symetrii będzie prosta x=p, zbiorem wartości będzie przedział <q, +∞) lub

(-∞, q>, drugi przedział w przypadku jeżeli a<0

 

Przykład: Napisz wzór funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej, wiedząc że najmniejszą wartość równą -2 funkcja osiąga dla argumentu 3, a do wykresu funkcji należy punkt A(-3,-6)

Możemy od razu podać wierzchołek funkcji;

 

W=(3,-2), czyli p=3, q=-2

W tym momencie nasz wzór wygląda tak:

f(x)=a(x-3)2-2

Aby wyliczyć a, do wzoru podstawiamy nasz punkt A:

-6=a(-3-3)2-2

-6=a*(-6)2-2

-6=36a-2

36a=-4

a=,

Więc wzór w postaci kanonicznej funkcji to :

f(x)= =(x-3)2-2



Zadania do zrobienia


1. Podaj wzór funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej, której wykres otrzymamy , przesuwając równolegle wykres funkcji o podany wektor , jeśli:

a)  ,  

b) ,  

Odp.      a) 2        b)  


 

2. Naszkicuj wykres funkcji kwadratowej , a następnie podaj zbiór wartości funkcji oraz  maksymalne przedziały monotoniczności tej funkcji, jeśli:

a)

b)

Odp.      a) ; funkcja rosnąca w przedziale , malejąca w przedziale )

               b) ; funkcja rosnąca w przedziale ; +), malejąca w przedziale


 3. Na podstawie wzoru funkcji kwadratowej f w postaci kanonicznej podaj:


  • zbiór wartości funkcji f
  • współrzędne wierzchołka W paraboli będącej wykresem funkcji f

  • równanie osi symetrii tej paraboli

  • maksymalne przedziały monotoniczności funkcji f, jeśli:

a  

b)

Odp.      a) ; ; funkcja rosnąca w przedziale ; +), malejąca w przedziale

b) ; funkcja rosnąca w przedziale , malejąca w przedziale )


 

4. Wyznacz wzór funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej, wiedząc, że dla argumentu funkcja przyjmuje wartość najmniejszą, równą , a do jej wykresu należy punkt

Odp.  ( 


 

5. Wyznacz wzór funkcji kwadratowej  w postaci kanonicznej, jeśli najmniejszą wartością funkcji  jest liczba , wykres funkcji  przecina oś  w punkcie o rzędnej , a osią symetrii tego wykresu jest prosta o równaniu

Odp. (