Zbiór informacji z matematyki oraz fizyki przygotowany przez Szkołę Maturzystów
Wiesz już, że w wyniku przesunięcia równoległego wykresu funkcji y=f(x) o wektor =[p,q] otrzymujemy wykres funkcji y=f(x-p) +q.
Więc mając wzór y=-2x2 i przesuniemy go o wektor [3,2] otrzymamy wzór:
y= -2(x-3)2+2
Twierdzenie 1: W wyniku przesunięcia równoległego wykresu funkcji kwadratowej y=ax2, gdzie a≠0, o wektor =[p,q] otrzymujemy wykres funkcji
y= a(x-p)2+q
Taki wzór y= a(x-p)2+q, gdzie a≠0, nazywamy wzorem w postaci kanonicznej.
Przykład: Naszkicuj wykres funkcji: f(x)= f(x)= (x-2)2+4
Czyli korzystając z twierdzenia wykres funkcji otrzymamy w wyniku przesunięcia równoległego wykresu funkcji f(x)= x2 o wektor [2,4].
Niektóre własności tej funkcji:
-Osią symetrii jest prosta x=2
-Zbiorem wartości funkcji jest przedział <4,+∞)
-Malejąca w przedziale (-∞,2>, rosnąca w przedziale <2, +∞)
Czyli jeżeli funkcję y=ax2 przesuniemy równolegle o wektor [p,q] to osią symetrii będzie prosta x=p, zbiorem wartości będzie przedział <q, +∞) lub
(-∞, q>, drugi przedział w przypadku jeżeli a<0
Przykład: Napisz wzór funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej, wiedząc że najmniejszą wartość równą -2 funkcja osiąga dla argumentu 3, a do wykresu funkcji należy punkt A(-3,-6)
Możemy od razu podać wierzchołek funkcji;
W=(3,-2), czyli p=3, q=-2
W tym momencie nasz wzór wygląda tak:
f(x)=a(x-3)2-2
Aby wyliczyć a, do wzoru podstawiamy nasz punkt A:
-6=a(-3-3)2-2
-6=a*(-6)2-2
-6=36a-2
36a=-4
a=,
Więc wzór w postaci kanonicznej funkcji to :
f(x)= =(x-3)2-2
1. Podaj wzór funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej, której wykres otrzymamy , przesuwając równolegle wykres funkcji o podany wektor , jeśli:
a) ,
b) ,
Odp. a) 2 b)
2. Naszkicuj wykres funkcji kwadratowej , a następnie podaj zbiór wartości funkcji oraz maksymalne przedziały monotoniczności tej funkcji, jeśli:
a)
b)
Odp. a) ; funkcja rosnąca w przedziale , malejąca w przedziale )
b) ; funkcja rosnąca w przedziale ; +), malejąca w przedziale
3. Na podstawie wzoru funkcji kwadratowej f w postaci kanonicznej podaj:
współrzędne wierzchołka W paraboli będącej wykresem funkcji f
równanie osi symetrii tej paraboli
maksymalne przedziały monotoniczności funkcji f, jeśli:
a
b)
Odp. a) ; ; funkcja rosnąca w przedziale ; +), malejąca w przedziale
b) ; funkcja rosnąca w przedziale , malejąca w przedziale )
4. Wyznacz wzór funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej, wiedząc, że dla argumentu funkcja przyjmuje wartość najmniejszą, równą , a do jej wykresu należy punkt
Odp. (
5. Wyznacz wzór funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej, jeśli najmniejszą wartością funkcji jest liczba , wykres funkcji przecina oś w punkcie o rzędnej , a osią symetrii tego wykresu jest prosta o równaniu
Odp. (