Znasz oba te wzory, teraz wykonamy przekształcenia wzoru z jednego w drugi i na odwrót by znaleźć jakieś zależności:

Przykład 1

1. Dany jest wzór w postaci kanonicznej y=3(x+2)2-3, przekształć go na wzór w postaci ogólnej.

2. Dany jest wzór w postaci ogólnej y=3x2+12x+15, przekształć go na wzór w postaci kanonicznej.

1. Na początek wykonajmy potęgowanie nawiasu:

   y=3(x2+4x+4)-3

   y= 3x2+12x+12-3

   y= 3x2+12x+9

   W ten sposób otrzymaliśmy wzór funkcji kwadratowej w postaci ogólnej.

2. Na początku pogrupujmy wyrazy zawierające zmienną x:

   y=3(x2+4x)+15

   Teraz musimy otrzymać nawias do kwadratu, aby to zrobić trzeba wyznaczyć takie równanie, które po podniesieniu do 2 potęgi da nam x2+4x+jakaś liczba, w naszym przypadku będzie to (x+2)2

   y= 3[(x+2)2-4]+15

   teraz musimy pozbyć się tej czwórki z kwadratowego nawiasu, trzeba ją pomnożyć razy 3 i dodać do 15:

   y=3(x+2)2+27

   W taki sposób otrzymaliśmy wzór w postaci kanonicznej.

   O zależnościach między wzorami mówi twierdzenie:

   Twierdzenie 1: Wzór funkcji kwadratowej w postaci ogólnej y=ax2+bx+c, gdzie a≠0, można przekształcić w postaci kanonicznej y=a(x-p)2+q. Wówczas:
   p=                            q= 
    

   Liczba  dla funkcji kwadratowej y=ax2+bx+c, gdzie a jest różne od 0, JEST BARDZO WAŻNA!!!, jest nazywana wyróżnikiem, jednak najczęściej stosuje się nazwę „delta”, dlatego że oznaczeniem wyróżnika jest grecka litera (delta), czyli wykres funkcji w postaci y=ax2+bx+c (a≠0), można otrzymać dzięki przesunięciu wykresu funkcji y=ax2 o wektor:

   
   v=[, ]

   
   

   
   

   Przykład 2

   Mamy daną funkcje f(x)=5x2+bx+c, do wykresu tej funkcji należą punkty A(0,3) i B(4,0), oblicz współczynniki b i c i wyznacz zbiór wartości funkcji bez rysowania wykresu.

   Na początek wstawiamy współrzędne punktów do wzoru by otrzymać układ równań:
   
   

   
   
   
   

   
   
   
   

   
   
   
   

   
   
   
   

   
   
   
   

   Czyli funkcja ma wzór f(x)=5x2-x+3
   
   

   Aby znaleźć zbiór wartości funkcji potrzebna jest nam współrzędna y wierzchołka, jak wiemy będzie ona równa:

   
   Yw=
   
   

   
   Yw=
   
   

   
   Yw=,
   
   

   Wiemy że wierzchołki są skierowane ku górze więc zbiór wartości funkcji to:

   
   Zwf:

   <, +∞)

   
   

   Zadania do zrobienia

   
   

   1. Dany jest wzór funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej. Sprowadź ten wzór do postaci ogólnej:  ( 

   Odp.   

    

   2. Dane są współrzędne wierzchołka  paraboli, będącej wykresem funkcji kwadratowej, oraz współrzędne punktu  przecięcia tego wykresu z osią . Wyznacz wzór funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej; następnie doprowadź go do postaci ogólnej.

   

   Odp3

    

   3. Oblicz współrzędne wierzchołka paraboli, będącej wykresem funkcji kwadratowej f, jeśli:

     

   Odp.

    

   4. Dany jest wyróżnik funkcji kwadratowej oraz współrzędne wierzchołka  paraboli, będącej wykresem tej funkcji. Wyznacz wzór tej funkcji w postaci ogólnej.  ,

   Odp.  

    

   5. Wyznacz współczynniki  we wzorze funkcji kwadratowej    (gdzie ), wiedząc, że do wykresu tej funkcji należą punkty

   

   Odp.