1. Strona główna
  2. Baza wiedzy

Baza wiedzy

Zbiór informacji z matematyki oraz fizyki przygotowany przez Szkołę Maturzystów

Miejsca zerowe funkcji kwadratowej. Wzór funkcji kwadratowej w postaci iloczynowej.

Miejsc zerowych funkcji kwadratowej y=ax2+bx+c, a≠0 może być dwa, jedno, lub zero, rozważmy zależności pomiędzy współczynnikiem a i współrzędną y wierzchołka ( czyli q)

 

a>0

a<0

1)   Brak miejsc zerowych.


a>0 i q>0, zatem a*q>0

1)   Brak miejsc zerowych.


a<0 i q<0, zatem a*q>0

2)   Jedno miejsce zerowe.


a>0 i q=0, zatem a*q=0

 

2)   Jedno miejsce zerowe.


a<0 i q=0, zatem a*q=0

3)   Dwa miejsca zerowe.



a>0 i q<0, zatem a*q<0

3) Dwa miejsca zerowe.

 

Tekst alternatywny wygenerowany przez komputer: (p,q)


a<0 i q>0, zatem a*q<0

 

  

 

 

Jak wiesz q= , więc =-4aq, więc :

a*q>0 wtedy i tylko wtedy gdy  (przed deltą mamy minus)

a*q=0 wtedy i tylko wtedy gdy

a*q<0 wtedy i tylko wtedy gdy

 

Twierdzenie 1:
Funkcja kwadratowa y=ax2+bx+c, gdzie a≠0 oraz b 2-4ac.
Nie ma miejsc zerowych wtedy i tylko wtedy, gdy
Ma jedno miejsce zerowe wtedy i tylko wtedy, gdy
Ma dwa miejsca zerowe wtedy i tylko wtedy gdy,

 

To twierdzenie będziesz bardzo często wykorzystywał, JEST TURBO WAŻNE!!.

Teraz wyznaczymy wzory na miejsca zerowe gdy i gdy .

Mamy wzór w postaci kanonicznej:

y=a[(x+)2 -   , gdzie a jest różne od zera, zakładamy że ,

y=a(x+)2, za y podstawiamy 0 by obliczyć miejsce zerowe

0=a(x+) (x+), pamiętajmy że a≠0, czyli aby równanie było prawdziwe to (x+) =0:

x+ =0

x=, Jeżeli , to miejscem zerowym jest  x=,

Teraz zakładamy że delta jest dodatnia: o

y=a[(x+)2 - ],  za wyrażenie  możemy podstawić 2 ( bo delta jest dodatnia), więc mamy:

y=a[(x+)2 -2], korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia:

y=a(x++)( x+ - ), porządkujemy prawą stronę:

y=a(x-)(x-), obliczamy miejsca zerowe:

a(x-)(x-)=0, więc (x-)=0 lub (x-)=0,

Twierdzenie 2: Funkcja kwadratowa y=ax2+bx+c, gdzie a≠0 oraz ∆=b2-4ac:
Ma tylko jedno miejsce zerowe, x0=
 wtedy i tylko wtedy, gdy ∆=0
Ma dwa miejsca zerowe, x1=, oraz x2=
,wtedy i tylko wtedy gdy ∆>0
Nie ma miejsc zerowych wtedy i tylko wtedy, gdy ∆<0

  •  

    Wzór y=a(x-x0)2 ( jeśli oraz wzór y=a(x-x1)(x-x2) (jeśli ) nazywamy wzorem funkcji kwadratowej w postaci iloczynowej.

     

    Przykład 1

    Dany jest wzór funkcji kwadratowej f(x)=3x2+5x-12, przedstaw go w postaci iloczynowej ( o ile to możliwe)

     

    Pierwszym krokiem będzie obliczenie delty:

    =25-4*3*(-12)

    =169, więc obliczmy pierwiastek:

    =13, teraz obliczmy miejsca zerowe:

    1==-3

    2==

    Teraz tworzymy wzór w postaci iloczynowej:

    y=3(x+3)(x-)

     

    Przykład 2

    Dany jest wzór funkcji kwadratowej w postaci iloczynowej:

    f(x)=(x-2)(x+4),

  1. Oblicz miejsca zerowe,

  2. Podaj współrzędne wierzchołka paraboli

  3. Podaj Zwf, dziedzinę, monotoniczność, największą i najmniejszą wartość.

 

  1. Miejscami zerowymi jest 2 i -4

  2. Aby obliczyć współrzędną x wierzchołka, wystarczy obliczyć średnią arytmetyczną współrzędnych iksowych miejsc zerowych, w naszym przypadku:

    , Więc xw=1, teraz podstawiamy do wzoru:

    , Więc współrzędne wierzchołka to (1,)

  3. D=R

    Zwf=<

    Funkcja jest malejąca w przedziale (-,1>, rosnąca w przedziale <1,+ równą

    Przyjmuje najmniejszą wartość , nie przyjmuje wartości największej.

Przykład 3

Zbadaj dla jakich wartości parametrów m i n funkcja kwadratowa

f(x)=x2+(7m-n)x+6m2+mn, ma miejsca zerowe.

Oczywiście zaczynamy od obliczenia delty:

=(7m-n)2-4*1*(6m2+mn)

=49m2-14mn+n2-24m2-4mn

=25m2-10mn+n2, teraz trzeba zauważyć że 25m2-10mn+n2 można zapisać w postaci =(5m-n)2, jak wiemy kwadrat jakiejś liczby jest zawsze nie ujemny, ta funkcja będzie miała jedno miejsce zerowe jeśli:

5m-n=0

5m=n

Będzie miała 2 miejsca zerowe jeśli:

(5m-n)2>0, czyli 5m należy do R/{n}



Zadania do zrobienia

 

1. Wyznacz miejsca zerowe (o ile istnieją) funkcji kwadratowej f, jeśli:

a)  

b)  

Odp.      a)        b)  

 

2. Przedstaw wzór funkcji kwadratowej f w postaci iloczynowej (o ile to możliwe), jeśli:

a)   

b)   

Odp.      a)   

               b)  

 

3. Dany jest wzór funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej. Podaj wzór tej funkcji w postaci iloczynowej (o ile to możliwe) bez wyznaczenia wzoru funkcjiw postaci ogólnej.

 (

 Odp.

 

4. Przedstaw wzór funkcji kwadratowej  w postaci ogólnej i w postaci kanonicznej. Podaj miejsca zerowe funkcji  oraz współrzędne wierzchołka paraboli

Odp. ,  

 

5. Wykaż, że funkcja  określona wzorem   gdzie  i  są dowolnymi liczbami rzeczywistymi oraz  ma co najmniej jedno miejsce zerowe.