Przykład 1

Janek zrobił wyrzutnie na małe butelki po napojach w kształcie paraboli którą można opisać równaniem y=-0,2x²+2x, butelka postawiona na boku ma 4cm szerokości, jaką może mieć maksymalną wysokość by wejść do wyrzutni? Butelka ma kształt prostopadłościanu z prostokątem w podstawie.

Jak widać wzór y=-0,2x²+2x można zapisać w postaci y=-0,2x(x-10)

Najlepiej zacząć od porządnego rysunku, to pomoże nam ustalić co tak naprawdę mamy obliczyć:

Jak widzimy nasza wyrzutnia w podstawie ma 10cm szerokości, teraz musimy zastanowić się co musimy obliczyć, maksymalną wysokość jaką może mieć butelka, a to oznacza że musimy obliczyć f od współrzędnej x naszej butelki, czyli prawy górny róg, aby znaleźć tą współrzędna pomoże nam kilka rzeczy wiemy że:

-Osią symetrii wyrzutni jest prosta x=5,

-Szerokość butelki to 4cm, więc boki są oddalone o 2cm od osi symetrii, czyli szukana współrzędna x to 7 (do 5 dodajemy 2), teraz musimy obliczyć f(7):

f(7)=-0,2*7(7-10)= -1,4*(-3)=4,2cm

Czyli butelka musi mieć nie więcej niż 4,2cm wysokości

W tym przypadku jeżeli byśmy wzięli współrzędną x lewego boku czyli x=3, otrzymalibyśmy ten sam wynik.

Już wiesz mniej więcej jak wyglądają zadania optymalizacyjne, by ułatwić sobie rozwiązywanie danych problemów, pamiętaj o:

-odpowiednim oznaczeniu danych,

-dokładnym rysunku

Przykład 2

Z materiału w kształcie trójkąta prostokątnego, którego przyprostokątne mają długość 3 i 2 metry, musimy wyciąć prostokątny kawałek materiału, jakie mają być wymiary tego prostokąta by jego pole powierzchni było największe.

Oczywiście zaczynamy od rysunku:

|AB|=3m

|AC|=2m

|AF|=x

|AD|=y

|DC|=2-y

|FB|=3-x,

Musimy skorzystać z podobieństwa trójkątów EFB i DCE:

Czyli mamy: xy=(3-x)(2-y), D=x należy do (0,3)

xy=6-3y-2x+xy

0=6-3y-2x

3y=6-2x

y=2-

Wzór na pole materiału to x*y czyli:

P(x)=x*(2 -)

P(x)=-²+2x, największą wartość x przyjmie w wierzchołku wykresu:

P(x)=x(-+2), miejsca zerowe tej funkcji to 0 i 3, czyli współrzędną x   wierzchołka jest x=, wystarczy policzyć teraz f():

f()=

Czyli materiał będzie miał największe pole jeżeli będzie kwadratem o boku 1,5m.

Jeżeli w zadaniu masz obliczyć największe pole prostokąta, to zawsze ci wyjdzie że ten prostokąt jest kwadratem.

Przykład 3

Sprzedawca kupuje męskie bluzy w cenie 55zł i sprzedaje je za 125zł, miesięcznie sprzedaje 52 bluzy, po zbadaniu rynku przez sprzedawcę okazuje się że gdyby zmniejszył cenę o 1zł to ilość sprzedanych bluz zwiększyła by się o 1 sztukę, jaką cenę powinien ustalić sprzedawca aby jego miesięczny zysk był największy?

Wprowadźmy oznaczenia:

x-wysokość obniżki  x<70 (gdyby x był większy od 70, to sprzedawca by nie zarabiał)

(125-x)- nowa cena jednej bluzy

(42+x)- ilość sprzedanych bluz

(42+x)*55- cena hurtowa bluz

(42+x)(125-x)-kwota uzyskana ze sprzedaży bluz.

Więc nasz wzór funkcji będzie wyglądał tak:

f(x)= (42+x)(125-x)- (42+x)*55,  obliczmy i uporządkujmy wzór:

f(x)=-x²+28x+2940

Liczymy deltę:

∆=28²-4*(-1)*2940

∆=12544,

Liczymy miejsca zerowe:

x₁=,            x₂=

Wiemy że wykres tej funkcji to parabola skierowana ramionami do dołu, więc największą wartość przyjmuje w wierzchołku, liczymy współrzędną x wierzchołka:

)/2=14

Więc największy zysk otrzyma sprzedawca jeśli zmniejszy cenę bluzy o 14zł.

Zadania do zrobienia