Definicja 1: Równaniem kwadratowym (z niewiadomą x) nazywamy równanie, które można doprowadzić do postaci ax²+bx+c=0, przy czym a,b,c są ustalonymi liczbami rzeczywistymi oraz a≠0.

Czyli jeżeli mamy równanie kwadratowe, będziemy musieli obliczyć jego miejsca zerowe, co już doskonale umiemy. Tak samo jak w przypadku miejsc zerowych, ilość rozwiązań będzie zależała od delty.

Twierdzenie 1:

Równanie kwadratowe ax²+bx+c=0, gdzie a≠0 i ∆=b²-4ac:

• Nie ma rozwiązań wtedy i tylko wtedy, gdy ∆<0

• Ma jedno rozwiązanie, x₀=, wtedy i tylko wtedy gdy ∆=0

• Ma dwa rozwiązania, , x₁= i x₂=, wtedy i tylko wtedy, gdy ∆>0

Przykład: Rozwiąż równanie

1. (2x-5)²=(x+3)(x-2)

2. 3x²+9=0

3. x²-12x+6=0

4. (x-2)(x+5)= -x+1

1.  Doprowadźmy obie strony do postaci ax²+bx+c:

4x²-20x+25=x²+x-6, uporządkujmy równanie:

3x²-21x+31=0, taki wzór doskonale znamy, liczymy deltę:

∆=441-4*3*31=69

x₁=,  x₂=,  Więc naszymi rozwiązaniami równania są liczby  i 

1. Możemy postąpić w taki sam sposób, ale trzeba być spostrzegawczym i zauważyć że można to równanie zmienić na 3x²=-9, jak wiemy, jeżeli podniesiemy do parzystej potęgi dowolną liczbę rzeczywistą, zawsze otrzymamy liczbę nieujemną, więc to równanie jest sprzeczne.

2. Można tutaj skorzystać z liczenia delty i miejsc zerowych, ale można zauważyć że x²-12x+6= (x-6)²-30, a (x-6)²-30=(x-6)²-² co daję nam wzór; a²-b²=(a-b)(a+b), zatem mamy:

(x-6)²-²=0

(x-6-)(x-6+)=0, więc nie musimy liczyć delty, wystarczy każdy z nawiasów przyrównać do 0:

x-6-=0    lub       x-6+=0

x=6+       lub       x=6-,

Więc rozwiązaniami naszego równania są liczby  6+  i 6-

1. Znów moglibyśmy skorzystać z delty, ale chodzi o to byś poznał jak najwięcej możliwości rozwiązywań równań kwadratowych, tym razem rozwiążemy to równanie graficznie, a dokładniej naszkicujemy wykres funkcji kwadratowej (x-2)(x+5) i wykres funkcji liniowej -x+1, jeżeli te wykresy się gdzieś przecinają to znaczy że to równanie ma rozwiązanie, szkicujemy oba wykresy na układzie współrzędnych:
   
     ,

Jak widać wykresy przecinają się w punktach x₁=-5,5 i x₂=2, więc liczby -5,5 i 2 są rozwiązaniami naszego równania.

Zadania do zrobienia

 1. Rozwiąż równania:

a)  

b)  

 Odp.      a)         b)

2. Aby rozwiązać równanie kwadratowe , możemy skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia    w następujący sposób:

²

^{2 2}

Postępując analogicznie, rozwiąż równania:

a) ²

b) ²

 Odp.      a)        b)

3. Aby rozwiązać równanie ²możemy przedstawić jego lewą stronę jako różnice kwadratów w następujący sposób:

²

²

²

^{2 2}

Postępując analogicznie, rozwiąż równanie:

²

 Odp.

4. Równanie kwadratowe mające postać  możemy rozwiązać, stosując prawo rozdzielności mnożenia względem dodawania  w następujący sposób:

Postępując analogicznie, rozwiąż równanie:

 Odp

5. Rozwiąż równanie:

 Odp.