Przykład: Rozwiąż równania:

1. -4x⁴-4x²+3=0

2.   = 5

    

1. Takie równanie ax⁴+bx²+c nazywamy równaniem dwukwadratowym, aby je rozwiązać musimy skorzystać z niewiadomej pomocniczej t, a dokładniej za x² podstawić naszą niewiadomą t, więc mamy:

   
   

   t=x²

   
   

   t²=x⁴, podstawiając do naszego wzoru otrzymujemy:

   
   

   -4t²-4t+3=0, a to jest świetnie nam znane równanie kwadratowe które bez problemu obliczymy:

   
   

   ∆=16+48=64

   
   

   =8

   
   

   t₁= -3/2 , t₂=, następnym krokiem będzie podstawienie wartości t do x²:

   
   

   x²=- (sprzeczne)

   
   

   x²=, zatem 

   
   

    lub 
   

    

   Czyli rozwiązaniami naszego równania są liczby i 

    

    

2. Jeżeli widzimy niewiadomą pod pierwiastkiem ZAWSZE zaczynamy od wyznaczenia dziedziny, jak wiemy liczba pod pierwiastkiem nie może być ujemna:

x-2≥0

x≥2, więc dziedziną jest przedział <2,+∞)

Teraz korzystamy z niewiadomej pomocniczej t:

t=

t²=, podstawiamy do naszego równania:

4+t²=5t, przerzucamy wszystko na jedną stronę i porządkujemy:

t²-5t+4=0, rozwiązujemy jak równanie kwadratowe:

∆=25-16=9

=3

t₁=1, t₂=4, więc mamy:

1= lub 4= 

Podnosimy obie strony do potęgi 4, bo wiemy że po obu stronach są liczby nieujemne:

1=x-2 lub 256=x-2

x=3 lub x=258

Oba rozwiązania należą do dziedziny, więc rozwiązaniami równania są liczby 3 i 258.

W przypadku zadań w których mamy postać ax⁴+bx²+c, możemy wyprowadzić ogólne warunki, w zależności od miejsc zerowych:

1. Zero rozwiązań (Będziemy się posługiwać zmienną pomocniczą t)
   
   

   a≠0, ∆<0, wtedy równanie nie będzie miało rozwiązań,

   
   Lub
   
   

   a≠0, ∆=0,  t₀<0, pamiętając że t=x²
   
   

   Lub
   
   

   a≠0, ∆>0,  t₁ i t₂ <0
   
   

   Lub
   
   

   a=0, b<0, c<0
   
   

   Lub
   
   

   a=0, b>0, c>0
   
   

   Lub
   
   

   a=0, b=0, c≠0
   
   

2. Jedno rozwiązanie:

   a≠0, ∆=0, t₀=0,
   
   

   Lub
   
   

   a≠0, ∆>0, t₁*t₂<0
   
   

   Lub
   
   

   a=0, c=0
   
   

3. Dwa rozwiązania:

   
   a≠0, ∆=0, t₀>0
   
   

   Lub
   
   

   a≠0, ∆>0, t₁*t₂<0, czyli rozwiązania o przeciwnych znakach.
   
   

   Lub
   
   

   a=0, b<0, c>0,
   
   

   Lub
   
   

   a=0, b>0, c<0
   
   

4. Trzy rozwiązania:

   a≠0, ∆>0, t₁*t₂=0, t₁+t₂>0, czyli jedno z rozwiązań równe zero.
   
   

5. Cztery rozwiązania:

   a≠0, ∆>0, t₁*t₂>0, t₁+t₂>0, 2 rozwiązania dodatnie
   
   

6. Nieskończenie wiele rozwiązań:

   a=0, b=0, c=0

   
   

   Zadania do zrobienia

   
   

   1. Rozwiąż równanie:

   ^{4 2}

   Odp.

    

   2. Rozwiąż równanie:

   ⁴ +  (² )^{2 2}

   Odp.

    

   3. Rozwiąż równanie:

   

   Odp. równanie sprzeczne; wskazówka: podstaw  gdzie

    

   4. Rozwiąż równanie:

   x² - 2 - 2 = 0

   Odp.               wskazówka: podstaw