Definicja 1: Nierównością kwadratową (z niewiadomą x) nazywamy każdą nierówność, którą można doprowadzić od postaci ax²+bx+c>0 lub ax²+bx+c≥0 lub ax²+bx+c<0, ax²+bx+c≤0, przy czym a,b,c są ustalonymi liczbami rzeczywistymi i a≠0. 

Załóżmy że mamy wzór funkcji y=x²-2x-3:

Jeżeli liczylibyśmy x²-2x-3=0, to rozwiązaniem są miejsca zerowe,

Jeżeli liczymy x²-2x-3>0, to naszym rozwiązaniem będzie suma przedziałów        (-∞,-1) i (3, +∞) więc patrząc na wykres te przedziały to tam gdzie wykres jest nad osią OX, analogicznie gdybyśmy musieli obliczyć x²-2x-3<0, rozwiązaniem będzie przedział (-1,3), czyli tam gdzie wykres jest pod osią OX.

Przykład: Rozwiąż nierówności:

1. x²-5x-6≤0

2. –x²-532<0 (bez rysowania wykresu)

3. –x²+10x-25≥0

Wiadomo, na początek delta, miejsca zerowe i rysunek, jednak jest metoda która pomaga obliczyć miejsca zerowe funkcji w o wiele krótszym czasie, polega ona na tym że patrzymy na wyraz b i c we wzorze funkcji kwadratowej, musimy stworzyć układ równań:

-5=m+n (dowolne niewiadome, może być z, t itd. Nie wprowadzaj x i y bo możesz sobie pomieszać)

-6=m*n, Dlaczego tak? Ponieważ jeżeli mamy wzór iloczynowy w postaci

(x-x₁)(x-x₂) to otrzymamy x²-(x₂-x₁)x+x₁x₂, czyli tak jak w naszym układzie równań, wiadomo, trzeba to przećwiczyć, jeżeli nie czujesz tego, licz deltę.

W naszym przypadku wzór przyjmie postać: (x-6)(x+1) ≤0, mamy już miejsca zerowe:
Rysujemy wykres:

Czyli rozwiązaniem jest przedział <-1,6>, (BO JEST MNIEJSZE BĄDŹ RÓWNE, więc przedział domknięty z obu stron)

Mamy –x²-532<0, przerzucamy -532 na drugą stronę (pamiętaj o zmianie znaku)

-x²<532, zmieniamy znak przed x² (znów pamiętaj żeby zmienić znak nierówności)

x²>-532 (dlatego miałeś to zrobić bez rysunku, JAKAKOLIWEK liczba rzeczywista podniesiona do kwadratu da nam liczbę nieujemną) więc rozwiązaniem tej nierówności jest zbiór liczb R.

Możemy to zrobić tak jak przykład a, ale lepiej będzie zauważyć że –x²+10x-25 to tak naprawdę wzór skróconego mnożenia ze zmienionym znakiem czyli

-(x-5)², więc mamy nierówność

-(x-5)²≥0 (zmieniamy znak)

(x-5)²≤0, rysujemy wykres:

Wykres ma być pod osią OX, lub się z nią przecinać, więc jedynym rozwiązaniem tej nierówności jest 0.

Zadania do zrobienia