W przypadku tego rozdziału nie będziemy mogli użyć niewiadomej pomocniczej. Będziemy musieli pamiętać o kilku własnościach, pierwsza z nich to że  równanie ²=x, jest NIEPRAWDZIWE. Poprawną wersją jest równanie ²=|x|, prosty przykład: 

x=-1

x²=1

=1,

Kolejna zasada: Jeżeli mamy  to musimy pamiętać że wyraz pod pierwiastkiem nie może być ujemny, więc dziedziną będzie przedział <-a,+∞),

Kolejna zasada: Jeżeli mamy =x+b, to musimy pamiętać że prawa strona też nie może być ujemna, ponieważ wtedy równanie będzie sprzeczne, więc musimy wyliczyć część wspólną zbiorów x+a≥0 i x+b≥0 i to będzie nasza dziedzina równania bądź nierówności. Jeżeli mamy ≥x+b lub inną nierówność musimy rozpatrzeć 2 przypadki, kiedy prawa strona jest ujemna i gdy jest nieujemna.

Jeżeli chodzi o nierówności pomogą nam relacje liczb rzeczywistych i ich kwadratów: niech a, b R, wówczas:

Jeśli a i b są liczbami nieujemnymi, to a ≤ b  a² ≤ b²

Jeśli a i b są liczbami ujemnymi, to a ≤ b  a² ≥ b²( np. -5<-2, 25>4)

Przykład: Rozwiąż równania i nierówności:

a)

b)  

c)

a) Widać że liczba pod pierwiastkiem zawsze będzie nie ujemna, musimy wyliczyć dziedzinę prawej strony:

x-1≥0

x≥1, Więc dziedzina to <1,+∞)

Podnosimy obie strony do kwadratu:

x²+2=x²-2x+1, porządkujemy wszystko

2x+1=0

2x=-1

x=-1/2, sprawdzamy czy wynik należy do dziedziny, nie należy więc równanie nie ma rozwiązań.

b) Wypisujemy założenia:

x-2≥0               3x-2≥0

x≥2                    x≥2/3

Część wspólna: D=<2,+∞)

       równanie przekształcamy:

4=             podnosimy obi strony do kwadratu:

16=3x-2+2() +x-2

16=4x-4+2()

-4x+20=2()        wiemy że po prawej stronie jest liczba nie ujemna: musimy wyznaczyć przedziały kiedy lewa strona jest nie ujemna a kiedy ujemna:

-4x+20≥0

-x≥-5

x≤5, rozpatrujemy teraz równanie w 2 przedziałach, najpierw kiedy lewa strona jest ujemna (5,+∞)

Wtedy to równanie będzie sprzeczne ponieważ po prawej na pewno mamy liczbę nieujemną

Teraz rozpatrujemy w przedziale <2,5> (uwzględniliśmy już dziedzinę)

Możemy obie strony podnieść do kwadratu:

16x²-160x+400=4(3x-2)(x-2)

16x²-160x+400=4(3x²-8x+4)            dzielimy obie strony przez 4:

4x²-40x+100=3x²-8x+4                     przerzucamy wszystko na jedną stronę:

x²-32x+96=0 ,                                      czyli mamy wyliczyć miejsca zerowe:

∆=1024-4*96

∆=640

=8

x₁==16-43,35              x₂=16-428,64

tylko x₁ należy do dziedziny, więc to jest nasze rozwiązanie.

c)

Wyznaczamy dziedzinę:

≥0,               x (-∞,-1> U <3,+∞)

Znów liczymy przedziały w jakich będziemy rozpatrywać nierówność:

5-x≥0

-x≥-5

x≤5

Pierwszy przedział ( gdy prawa strona jest ujemna):

Znów mamy sprzeczność ponieważ lewa strona jest nieujemna (nieujemna nie może być mniejsza od ujemnej)

Drugi przedział (-∞,5> Będziemy mieli układ równań:

x (-∞,-1> U <3,5> ( uwzględniliśmy już dziedzinę)

<(5-x)²

x²-2x-3<x²-10x+25

8x<28

x (-∞,), teraz musimy wyznaczyć część wspólną przedziałów

 (-∞,-1> U <3,+∞)  i (-∞,), Otrzymamy  (-∞,-1> U <3,), to jest zbiór naszych rozwiązań.

Zadania do zrobienia