Przykład: Suma kwadratów trzech kolejnych liczb nieparzystych wynosi 155. Wyznacz te liczby.

Nie jest to zadanie tekstowe, więc oznaczenie będzie proste, jak zapisać liczbę aby mieć pewność że jest ona nieparzysta? Oznaczmy to jako 2n+1, jeżeli pod n podstawimy jakąkolwiek liczbę, da nam to liczbę nieparzystą, więc mamy:

(2n+1)²+(2n+3)²+(2n+5)²=155, uporządkujmy wszystko,

4n²+4n+1+4n²+12n+9+4n²+20n+25=155,

12n²+36n-120=0, wystarczy obliczyć miejsca zerowe tej funkcji, aby było łatwiej podzielmy przez 12 całe wyrażenie:

n²+3n-10=0, można liczyć deltę, ale można to obliczyć szybciej, poznałeś metodę, jakie 2 liczby po dodaniu dadzą 3 a po pomnożeniu dadzą -10?

(n-2)(n+5)=0, czyli rozwiązaniem są liczby 2 i -5, sprawdźmy czy każda z tych liczb spełnia treść zadania:

n=2:

5²+7²+9²=155,

n=-5:

(-9)²+(-7)²+(-5)²=155, Więc obie liczby spełniają założenie.

Przykład 2:Kupiec ma dwie beczki wina, w których stosunek liczby litrów wina z pierwszej beczki do liczby litrów wina z drugiej beczki wynosi 3 : 2. Litr wina z pierwszej beczki kosztuje tyle złotych, ile wynosi 5% liczby litrów wina znajdującego się w drugiej beczce. Litr wina w drugiej beczce jest o 2zł droższy niż litr wina z pierwszej. Łączna wartość wina w obu beczkach jest równa 960zł. Ile litrów jest w każdej beczce i ile złotych kosztuje litr wina z każdej z nich.

Właśnie o takich zadaniach była mowa, dużo treści, więc trzeba odpowiednio wszystko oznaczyć, zacznijmy od liczby litrów w poszczególnych beczkach:

3x-liczba litrów w pierwszej beczce,

2x-liczba litrów w drugiej beczce,

0,05*2x=0,1x=cena litra z pierwszej beczki

0,1x+2=cena litra z drugiej beczki,

0,1x*3x=cena za całą pierwszą beczkę,

(0,1x+2)*2x= cena za całą drugą beczkę

oznaczyliśmy każdą informacje z treści trzeba ułożyć odpowiednie równanie:

0,1x*3x+(0,1x+2)*2x=960,  wyliczmy wszystko, Naszą dziedziną będą R+

0,3x²+0,2x²+4x=960,

0,5x²+4x-960=0,

Liczymy miejsca zerowe,

∆=16-4*0,5*(-960)

∆=1936

=44

x₁==40    x₂=-48

Tylko x₁ należy do dziedziny, więc teraz musimy odpowiedzieć na pytanie:

120L- liczba litrów w pierwszej beczce,

80L- liczba litrów w drugiej beczce,

4zł- cena za litr z pierwszej beczki,

6zł- cena za litr z drugiej beczki.

Przykład 3:

W trójkącie prostokątnym przeciwprostokątna ma długość 25 cm. Długość promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt jest równa 3 cm. Oblicz pole tego trójkąta.

Zaczynamy od rysunku i oznaczeń:

Co wiemy? Korzystając z własności okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny wiemy że:

r=p-c, gdzie r to promień, p to połowa obwodu i c przeciwprostokątna, podstawiamy nasze dane:

3=p-25, obliczamy p,

p=28, czyli obwód L=56, a więc mamy:

x+y+25=58

x+y=31, podnosimy obie strony do kwadratu,

x²+y²+2xy=961

x²+y²=961-2xy, wiemy też że:

x²+y²=625 (z twierdzenia pitagorasa), więc otrzymujemy równość:

961-2xy=625

-2xy=-336

x*y=168, W tym zadaniu nie musimy obliczać długości x i y bo wzór na pole będzie wyglądał w taki sposób:

P=(x*y)/2,(y jest wysokością) więc mamy

P=168/2

P=84 cm²

Odp. Pole równa się 84cm²

Przykład 4:

W trójkącie rozwartokątnym ABC (|ACB|  (90^o, 180⁰)) długości boków spełniają warunki: |BC|=|AC|+2, |AB|=|AC|+4 oraz |AC|>2. Ustal do jakiego przedziału liczbowego należy długość boków AC.

Zaczynamy od rysunku i oznaczeń.

Musimy skorzystać tutaj z twierdzenia cosinusów:

|AB|²=|BC|²+|AC|²−2*|BC|*|AC|*cosα, podstawiając nasze dane otrzymamy:

x²+8x+16=x²+4x+4+x²−2x*(x+2)*cosα, porządkujemy wszystko:

-x²+4x+12=-2x*(x+2)* ( cosα), obliczamy cosα:

cosα====,

Wiemy że α jest kątem rozwartym więc cosα musi być mniejszy od zera:

<0, wiemy że x jest dodatni więc bierzemy pod uwagę tylko licznik:

x-6<0

x<6, uwzględniając treść mamy że:

2<x<6

Odp. Długość boku AC należy od przedziału (2,6).

Zadania do zrobienia