Przykład 1:

Wyznaczmy wszystkie wartości parametru m (mR) dla których równanie  ma dwa rozwiązania o przeciwnych znakach.

Po pierwsze aby były dwa różne rozwiązania delta musi być większa od 0,

∆

∆, więc mamy:

,

1+m>0

m>-1,     teraz kolejne warunki, skorzystamy ze zbiorów Vietea:

x₁*x₂<0 (Dlatego, że iloczyn liczb o przeciwnych znakach, zawsze będzie ujemny).

m<0, ponieważ jest nieparzysta potęga a przed nią znak minus.

Teraz wyznaczamy część wspólną tych przedziałów a to da nam (-1,0), to jest nasza odpowiedź.

Przykład 2:

Dla jakich wartości parametru m dziedziną funkcji y=f(x), jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych:

f(x)=,

teraz musimy się zastanowić jakie warunki mamy postawić, wiemy że wyrażenie pod
pierwiastkiem musi być nieujemne, ale wiemy też że mianownik nie może być równy zero, więc mamy pierwszy warunek.

,

Gdybyśmy mieli naszkicować jak ta funkcja ma wyglądać, to wyglądała by mniej więcej tak:

Czyli parabola skierowana do góry bez miejsc zerowych, a to daje nam kolejne warunki:

>0 i

∆<0, trzeba się zastanowić czy jest możliwa jakaś inna opcja na spełnienie treści zadania, co się stanie gdy a=0? Mamy:

, wtedy otrzymamy wzór funkcji liniowej, więc żeby dla dowolnego x przyjmowała wartości dodatnie musimy zapisać warunki:

, (ponieważ b też musi być równe 0)

c>0, to już mamy bo c=1.

Podsumujmy, mamy pierwszy przypadek:

I drugi przypadek:

, mamy wszystko poukładane, rozwiązujemy.

Pierwszy przypadek:

, możemy to rozpisać:

(m+3)(m-2)>0, Więc ten warunek jest spełniony gdy m(-∞,-3) U (2,+∞)

Teraz rozpatrujemy ∆<0:

, więc mamy:

, liczymy ∆_m:

∆_m=

∆_m=400

m₁=, więc ten warunek jest spełniony jeżeli m (-∞, U (2,+ ∞), wiec mamy:

,


(nawias „{„ jest równoważny koniunkcji.)

Pierwszy przypadek mamy obliczony, teraz obliczamy drugi:

, z pierwszego przypadku wiemy że to równanie spełniają

m=-3 lub m=2

m=2, Wiec mamy:

, Teraz wyznaczamy część wspólną mamy

 , otrzymujemy odpowiedź,  dla dowolnego x rozwiązaniem jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych dla

Przykład 3:

Wyznacz te wartości parametru m, dla których, każde z rozwiązań równania

 jest mniejsze od 2.

Sprawdzamy co się stanie dla m=0,

-2x-6=0

-2x=6

x=-3

W drugim przypadku będą następujące warunki:

Przeanalizujmy te warunki: , w pierwszym przypadku obliczyliśmy co jeśli m=0.

, w treści nie ma mowy o RÓŻNYCH rozwiązaniach.

<4, jeżeli jedna liczba jest mniejsza od 2 i druga również to ich suma musi być mniejsza od 4.

,  jeżeli rozwiązania są mniejsze od 2 to iloczyn ich liczb pomniejszonych o 2 będzie dodatni, ponieważ obie te liczby są ujemne.

Rozwiązujemy:

, największą tutaj trudnością jest zauważenie że , więc

, jest spełnione zawsze czyli m należy do R.

Kolejny warunek:

, wiemy że m jest różne od 0. Mnożymy obie strony razy m

, liczymy ∆_m:

∆_m=49-4*1*2

∆_m=41

m₁=

Wiemy że parabola jest skierowana do góry więc m należy do przedziału:

m

Kolejny warunek:

, uzyskaliśmy wzory Vietea więc podstawiamy:

Tutaj rozpatrujemy 2 przypadki kiedy m>0 lub m<0

m>0

∆=64+80

∆=144

m₁=5  m₂=-1, Więc mamy:

Drugi przypadek:

m<0

,

Teraz musimy wszystko poukładać mamy:

  lub     

 Aby ułatwić sobie wyprowadzenie części wspólnej narysujmy rysunek pomocniczy:

Więc częścią wspólną będą przedziały ().

Zadania do zrobienia

1. Zbadaj liczbę rozwiązań równania ze względu na wartość parametru . Napisz wzór i naszkicuj wykres funkcji , która każdej wartości parametru  przyporządkowuje liczbę rozwiązań równania:

²

Odp.  =

2. Dla jakich wartości parametru m równanie ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste dodatnie?

²  

Odp.

3. Dla jakich wartości parametru  równanie ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste ujemne?

^{2 2}

Odp. nie istnieje taka wartość parametru

4. Dla jakich wartości parametru  suma różnych rozwiązań równania ²  jest równa sumie kwadratów tych rozwiązań?

 Odp.